Движение с постоянной скоростью

Вашему вниманию предлагаются самые простые задачи на движение с постоянной скоростью. Мы научимся по условию задачи записывать уравнение движения тела, вспомним, что путь можно определить как площадь фигуры под графиком скорости.

Задача 1.

По оси $X$ движутся две точки: первая по закону $x_1=10+2t$, вторая по закону $x_2=4+5t$. В какой момент времени они встретятся? Решить аналитически и графически.

Для того, чтобы решить эту задачу аналитически, нужно приравнять два выражения, определяющие законы движения тел (то есть координата и у первого, и у второго одна и та же, потому что они встретились):

$$x_1=x_2$$

$$10+2t=4+5t$$

$$3t=6$$

$$t=2$$

Решим задачу графически. Для этого построим два графика зависимостей на одной координатной плоскости, и найдем точку их пересечения:

Задача 1.

Ответ: $t=2$

Задача 2.

Из пункта А в пункт В выехала автомашина с постоянной скоростью $\upsilon_1=80$ км/ч. Спустя $\Delta t=15$ мин из пункта В в пункт А выехал велосипедист с постоянной скоростью $\upsilon_2=20$ км/ч.

а) написать закон движения автомашины и велосипедиста, считая, что начало координат находится в пункте А, а начало отсчета времени – выезд автомашины.

б) Найти время и место встречи аналитически и графически. Расстояние между пунктами А и В $l=55$ км.

1. a) Запишем закон движения автомашины: она движется по самому обычному закону для движения с постоянной скоростью: $x_a=x_0+\upsilon_a t$. Так как начальная координата автомашины равна нулю, то можно записать: $x_a=80t$. Велосипедист выехал из пункта $B$, и его начальная координата равна 55 (км). Расстояние до пункта А постоянно уменьшается, следовательно, скорость его «отрицательна» - то есть отрицательна ее проекция на ось $x$. Тогда закон движения велосипедиста $x_v=x_B-\upsilon_v t=55-20t$.

Найдем время встречи, приравняв координаты обоих участников:

$$80t=55-20t$$

$$100t=55$$

$$t=\frac{55}{100}=0,55$$

Место встречи:

$$x=80t=80\cdot0,55=44$$

Решим теперь задачу графически:

Задача 2. Графическое решение

Ответ: встреча произойдет через 0,55 часа на 44 километре шоссе.

Задача 3.

Координата тела, движущегося вдоль оси $X$, изменяется со временем по закону, представленному на рисунке.

Задача 3. График зависимости координаты от времени

Построить график зависимости скорости и пути тела от времени. Чему равны перемещение и путь за первые $t_1=3$ с движения тела? Найти среднюю путевую скорость $\upsilon$ и среднюю скорость по перемещению за первые $t_2=5$ с движения.

В отличие от координаты и перемещения, путь всегда только растет со временем. Поэтому график пути будет следующим:

Задача 3. Путь от времени

Скорость постоянна,  проекция скорости на ось $x$ на промежутках времени 0-2 с и 4-5 с отрицательна (координата уменьшается), на промежутке 2-4 с – положительна (координата растет).

Задача 3. Зависимость скорости от времени

Определим  путь за 3 с. Это можно сделать по графику пути, определив ординату по известной абсциссе:

Задача 3. Определяем путь по графику пути

$$S_3=3$$

А можно определить путь как площадь под графиком скорости:

Задача 3. Определяем путь и перемещение по графику скорости

Определим перемещение $H$. Это как раз удобно сделать по графику скорости, нужно вычесть из площади  $B$ площадь $A$:

$$H=S_B-S_A=1-2=-1$$

Средней путевой скоростью называется средняя скорость на всем пути, то есть частное от деления длины пути на время, а средней скоростью по перемещению называется частное от деления перемещения на время.

Найдем среднюю путевую скорость:

$$S_5=5$$

$$\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{5}{5}=1$$

Найдем среднюю скорость по перемещению:

$$\upsilon_{srH}=\frac{H}{t}=\frac{-1}{5}=-0,2$$

Ответ: $S_3=3$, $\upsilon_{sr}=1$, $H=-1$, $\upsilon_{srH}= -0,2$.