Байдарка и бревно

Хорошая, довольно простая задача (простая в отношении физики процесса), требующая, однако, решения тригонометрического уравнения, сводящегося к квадратному. Если грамотно разложить скорости на проекции - то задача решается просто.

Задача. Турист, сплавлявшийся по реке на байдарке, заметил, что поток несет его к середине упавшего и перегородившего ему путь дерева в тот момент, когда расстояние от носа байдарки до дерева было $s=30$ м. Оценить, под каким углом к скорости течения он должен направить байдарку, чтобы обойти преграду, если скорость реки $u=3$ км/ч, скорость байдарки в стоячей воде $\upsilon=6$ км/ч, длина дерева $l=20$ м.

Для начала переведем скорости в единицы СИ: м/с.

$$\upsilon=\frac{6000}{3600}=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}$$

$$u=\frac{3000}{3600}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$$

Теперь сделаем рисунок:

Рисунок

Становится понятно, что, если турист изменит направление движения на то, которое показано штриховкой, чтобы обойти бревно, то его собственная скорость распадется на две составляющие: продольную и поперечную. Продольная составляющая равна $\upsilon \cdot \cos{\alpha}$, а поперечная $\upsilon \cdot \sin{\alpha}$. Не забудем про скорость реки: она сложится с продольной составляющей собственной скорости, и по течению турист будет двигаться с итоговой скоростью $\upsilon \cdot \cos{\alpha}+u$.

Тогда, чтобы обойти дерево, турист должен успеть за время приближения к преграде, равное $t=\frac{s}{\upsilon \cdot \cos{\alpha}+u}$, отклонить нос лодки на расстояние, равное половине длины бревна: $t=\frac{\frac{l}{2}}{\upsilon \cdot \sin{\alpha}}$. Приравняем:

$$\frac{s}{\upsilon \cdot \cos{\alpha}+u}=\frac{l}{2\upsilon \cdot \sin{\alpha}}$$

$$2\upsilon \cdot s \cdot \sin{\alpha}=l \upsilon \cdot \cos{\alpha}+lu$$

На этом этапе решения предлагаю подставить числа, поскольку решение в общем виде довольно громоздко.

$$3\sin{\alpha}=\frac{1}{2}+\cos{\alpha}$$

Возведем в квадрат:

$$9\sin^2{\alpha}=\frac{1}{4}+\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}$$

$$9(1-\cos^2{\alpha})=\frac{1}{4}+\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}$$

$$-10\cos^2{\alpha}-\cos{\alpha}+8\frac{3}{4}=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1-4(-10)( 8\frac{3}{4})=351$$

$$\cos{\alpha}=\frac{1 \pm \sqrt{351}}{-20}=0,886$$

Косинус должен получиться положительным, так как угол – острый. Поэтому был взят только положительный корень.

Тогда искомый угол равен $\alpha=\arccos(0,886)=28^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=28^{\circ}$.