Взрыв сферы

В этой задаче потребуются знания не только формул равноускоренного движения, но и очень хорошие геометрические (стереометрические) знания, а кроме того, и знание тригонометрии.

Задача. На поверхности земли на множество осколков разорвалась небольшая сфера массой $m=1$ кг. Осколки разлетелись во все стороны с одинаковыми по модулю скоростями $\upsilon=10$ м/с. Какова масса осколков, упавших на поверхность земли вне круга радиуса $R=5$ м с центром в точке взрыва?

Очевидно, что не вылетят за границу круга только те осколки, скорость которых направлена почти вверх, или под очень небольшим углом к вертикали. То есть осколки из определенного объема верхнего сектора останутся в границе круга:

Рисунок

Поэтому нужно найти объем данного сектора, и тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы равно:

$$\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{m-m_s}{m}=\frac{V-V_s}{V}$$

Здесь $m_s$ - масса осколков сектора, $V_s$ - объем сектора, $V$ - объем сферы:

$$V=\frac{4 \pi R^3}{3}$$

$$V_s=\frac{2 \pi R^2 h}{3}$$

Тогда отношение массы вылетевших осколков к массе сферы:

$$\frac{m_{vyl}}{m}=\frac{V-V_s}{V}=1-\frac{V_s}{V}=1-\frac{\frac{2 \pi R^2 h}{3}}{\frac{4 \pi R^3}{3}}=1-\frac{h}{2R}$$

Осталось найти высоту $h$  -  и дело в шляпе.

$$\frac{h}{R}=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos{\alpha}$$

Осталось разобраться с углом. Каким должен быть угол $\alpha$, чтобы осколки, вылетевшие под данным углом, упали бы на границу круга? В высшей точке полета вертикальная составляющая скорости равна 0:

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Дальность полета определяется горизонтальной составляющей скорости:

$$L=\upsilon_0 \cos{\alpha}\cdot 2t$$

$$L=\frac{2\upsilon_0^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}$$

$$L=\frac{\upsilon_0^2\sin{2\alpha}}{g}$$

Определим  $\sin{2\alpha}$:

$$\sin{2\alpha}=\frac{Lg}{\upsilon_0^2}=\frac{10 \cdot 5}{10^2}=\frac{1}{2}$$

Здесь нужно быть внимательными: очень хочется сразу заявить, что $2\alpha=30^{\circ}$. Но угол $2\alpha$ - тупой! Поэтому $2\alpha=120^{\circ}$ и $\alpha=60^{\circ}$.

Определяем отношение масс:

$$\frac{m_{vyl}}{m}=1-\frac{h}{2R}=1-\frac{\cos{\alpha}}{2}=1-\frac{1}{4}=0,75$$

Ответ: масса вылетевших осколков равна $0,75m$