Водяные струи

Две задачи, связанные с движением под углом к горизонту, и обе - про водяные струи, поэтому я их и объединила в одну статью. Первая - простая, а во второй нужно вспомнить тригонометрию, и решить ее в общем виде, что обычно сложнее для ребят.

Задача 1.

Из шланга, установленного на земле, бьет под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту струя воды  с начальной скоростью $\upsilon_0=15$ м/с. Площадь сечения отверстия шланга $S=1$ см$^2$. Определить массу воды в струе, находящейся в воздухе.

Если определить, сколько времени $t$ будет лететь вода от момента отрыва до падения на землю, то количество воды в воздухе можно записать так:

$$m=\rho V=\rho S \upsilon_0 t$$

В наивысшей точке, куда воде лететь $\frac{t}{2}$, вертикальная составляющая скорости воды равна нулю:

$$\upsilon_y=\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac {t}{2} =0$$

Откуда

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}=g\frac {t}{2}$$

И тогда время полета воды равно:

$$t=\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Подставим в формулу массы:

$$m=\rho S \upsilon_0 t=\frac{2\rho S \upsilon_0^2 \sin{\alpha}}{g}$$

$$m=\frac{2\cdot10^3 \cdot10^{-4} \cdot 225 \sin{30^{\circ}}}{10}=2,25$$

Ответ: 2,25 кг воды одновременно находится в воздухе.

Задача 2.

Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи воды под углами $\alpha$ и $\beta$ к горизонту с одинаковой начальной скоростью $\upsilon_0$. На каком расстоянии от отверстия по горизонтали они пересекаются?

Введем систему координат, начало которой совместим с отверстием шланга. Тогда, если струи пересекаются, то координаты обеих струй как по оси $x$, так и по оси $y$ равны.

Пусть первая струя вылетает под углом $\alpha$, тогда:

$$S_{x1}=\upsilon_{1x} t_1=\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1$$

$$ S_{y1}=\upsilon_{1y} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\alpha} t_1-\frac{gt_1^2}{2}$$

В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости струи равна $0$:

$$\upsilon_{1y}=\upsilon_0 \sin{\alpha}-g\frac{t_1}{2}=0$$

Откуда

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}=g\frac{t_1}{2}$$

$$t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Для второй струи все совершенно аналогично:

$$S_{x2}=\upsilon_{2x} t_2=\upsilon_0 \cos{\beta} t_2$$

$$ S_{y2}=\upsilon_{2y} t_2-\frac{gt_2^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta} t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости струи равна $0$:

$$\upsilon_{y2}=\upsilon_0 \sin{\beta}-g\frac{t_2}{2}=0$$

Откуда

$$\upsilon_0 \sin{\beta}=g\frac{t_2}{2}$$

$$t_2=\frac{2\upsilon_0 \sin{\beta}}{g}$$

Так как координаты по оси $x$ и  по оси $y$ должны быть равны, то:

$$\begin{Bmatrix}{\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1=\upsilon_0 \cos{\beta} t_2}\\{\upsilon_0 \sin{\alpha} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta} t_2-\frac{gt_2^2}{2}}\end{matrix}$$

Из первого уравнения этой системы имеем:

$$\cos{\alpha} t_1=\cos{\beta} t_2$$

Выразим из этого выражения $t_1$ и подставим во второе:

$$ t_1=\frac{\cos{\beta} t_2}{\cos{\alpha} }$$

$$\upsilon_0 \sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} t_2}{\cos{\alpha} }-\upsilon_0 \sin{\beta} t_2=\frac{g\cos^2{\beta} t_2^2}{2\cos^2{\alpha} }-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0 \left(\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta} \right) =\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1\right) t_2$$

$$t_2=\frac{2\upsilon_0}{g}\frac{\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}}{\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1}$$

Тогда искомая координата места пересечения струй равна:

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2}{g}\frac{\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos^2{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}\cos{\beta}}{\frac{\cos^2{\beta}}{\cos^2{\alpha} }-1}$$

Преобразуем:

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2}{g}\cdot \left(\sin{\alpha} \cdot \frac{\cos^2{\beta} }{\cos{\alpha} }-\sin{\beta}\cos{\beta}\right)\cdot \frac{\cos^2{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}}{g}\left[\frac{\sin{\alpha} \cdot \cos{\beta} \cdot \cos{\alpha} }{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }-\frac{\sin{\beta}\cos^2{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }\right]$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin{\alpha} \cdot \cos{\beta} -\sin{\beta}\cos{\alpha}}{cos^2{\beta}-\cos^2{\alpha} }\right]$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{1-sin^2{\beta}-(1-\sin^2{\alpha} )}\right]$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{\sin^2{\alpha}-sin^2{\beta}}\right]$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g}\left[\frac{\sin(\alpha-\beta) }{\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin(\alpha-\beta)}\right]$$

$$S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g\sin(\alpha+\beta)}$$

Ответ: $S_x=\frac{2\upsilon_0^2\cos{\beta}\cos{\alpha}}{g\sin(\alpha+\beta)}$