Свободное падение: разные задачи

В статье рассмотрены задачи, предложенные одному из учеников на контрольной работе. Такие же задачи, как первая, могут встретиться в блоке С ЕГЭ по физике. Задача не очень сложная, но тактика решения более сложной задачи будет аналогичная.

Задача 1.

Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения проходит половину пути. Определить время и высоту падения.

Обозначим время движения тела на первой половине пути $t_0$, а на второй - $t$. Тогда можно записать для первой половины пути

$$\frac{S}{2}=\frac{gt_0^2}{2}$$

За время движения $t_0$ тело набрало  скорость $\upsilon_0=gt_0$. Поэтому для второй половины запишем:

$$\frac{S}{2}=\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}$$

Или, подставив скорость,

$$\frac{S}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

Так как половинку пути совершенно одинаковые, то

$$\frac{gt_0^2}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

Или, деля на $g$ и домножая на 2, получим:

$$ t_0^2=2 t_0 t+t^2$$

Решим это квадратное уравнение относительно $t_0$:

$$D=(2t)^2+4t^2=8t^2$$

$$t_0=\frac{2t \pm \sqrt{8t^2}}{2}=t(1 \pm \sqrt{2})=1+\sqrt{2}$$

Отрицательный корень отбросили – он посторонний. Таким образом, $t_0=2,41$ с.

Тогда общее время падения равно $t_{ob}=t_0+t=3,41$ с, а высота падения тела

$$S=\frac{g t_{ob}^2}{2}=58,14$$

Ответ: время падения $t_{ob}=3,41$ с, высота падения - $S=58,14$ м.

К задаче 2

Задача 2.

Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с, равна высоте бросания. С какой высоты было брошено тело?

Тело, брошенное горизонтально, так и будет лететь вдоль оси $x$ с той скоростью, которую ему сообщили. Если время полета - $t$, то оно улетит на расстояние

$$S=\upsilon_0 t$$

Падение тела тоже будет происходить время $t$, поэтому

$$H=\frac{gt^2}{2}$$

По условию $S=H$, следовательно,

$$\upsilon_0 t=\frac{gt^2}{2}$$

$$2\upsilon_0=gt$$

$$t=\frac{2\upsilon_0}{g}$$

И тогда высота, с которой оно падало:

$$H=\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon_0}{g}\right)^2=\frac{2\upsilon_0^2}{g}=20$$

Ответ: высота падения тела – 20 м.

К задаче 3

Задача 3.

С некоторой высоты свободно падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько времени с момента падения второго тела расстояние между телами удвоится?

Первое тело прошло за первую секунду (если принять $g=10$)

$$H_1=\frac{gt^2}{2}=5$$

Так как пути, пройденные за последовательные промежутки времени, относятся как ряд последовательных нечетных чисел, то  за вторую секунду первое тело прошло  15 м, а всего за 2 секунды – 20. То есть расстояние, разделяющее тела к моменту падения второго тела – 20 м, а нас интересует, когда оно станет равно 40. За третью секунду первое тело пройдет еще 25 м, а первое – 5, и расстояние между телами удвоится, став равным 40 м. Подтвердим расчетом эти доводы:

$$ S_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

$$ S_2=\frac{gt_2^2}{2}$$

Тогда $S_1-S_2=40$, и

$$\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}=40$$

$$\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1-2)^2}{2}=40$$

$$\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1^2-4t_1+4)}{2}=40$$

$$2gt_1-2g=40$$

$$t_1=3$$

С момента падения второго тела пройдет $t_2=t-1-2=1$ с.

Ответ: 1 с.