Столкновения в воздухе

Решение этих задач достаточно однотипно: понятно, что, раз тела повстречались в воздухе, значит они оказались в одном и том же месте, в одной точке. То есть координаты по обеим осям должны быть одинаковы. Далее решение строится на приравнивании этих координат и получении из уравнения требуемой величины.

Задача 1.

С какой скоростью $\upsilon$ должен вылететь снаряд из пушки в момент старта ракеты, чтобы сбить ее? Ракета стартует вертикально с постоянным ускорением $a=4$ м/с$^2$. Расстояние от пушки до места старта ракеты (они находятся на одном высотном уровне) 9 км. Пушка стреляет под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту.

Поскольку снаряд и ракета встретились, то, следовательно, оказались на одной высоте. Определим координату по оси ординат для снаряда и для ракеты и приравняем их.

$$y_{rak}=\frac{at^2}{2}$$

$$y_{sn}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Приравниваем:

$$\frac{at^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Разделим на $t$ и перепишем так:

$$\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}t$$

Осталось найти время и подставить его в полученное выражение. Это можно сделать, зная дальность полета снаряда:

$$x_{sn}=\upsilon \cos{\alpha} t$$

$$t=\frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

Подставляем:

$$\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}\cdot \frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

$$\upsilon^2=\frac{ x_{sn}(g+a)}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}$$

Теперь можно подставить числа:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}}=\sqrt{\frac{ 9000(10+4)}{ 1}}=355$$

Ответ: 355 м/с

Задача 2.

Один мальчик бросил вверх мяч с начальной скоростью  $\upsilon_1=5$м/с. Одновременно с ним второй мальчик, стоящий на расстоянии $l=5$ м от первого, бросил камень со скоростью $\upsilon_2=2\upsilon_1$, стараясь попасть в мяч. Под каким углом к горизонту $\alpha$  должен бросить камень второй мальчик? В какой момент времени $t$ произойдет столкновение?

Задача очень похожа на предыдущую, только найти надо угол.

Определим координату по оси ординат для мяча и для камня и приравняем их.

$$y_{m}=\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}$$

$$y_{k}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Приравниваем:

$$\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

$$\upsilon_1t=\upsilon_2 \sin{\alpha} t$$

Откуда

$$\sin{\alpha}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{1}{2}$$

Тогда $\alpha=30^{\circ}$.

Осталось найти время столкновения.

$$x_{k}=\upsilon \cos{\alpha} t$$

$$t=\frac{ x_{k}}{\upsilon \cos{\alpha}}=\frac{5\cdot2}{5\sqrt{3}}=1,16$$

Ответ: $\alpha=30^{\circ}$, $t=1,16$ с

Задача 3.

Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью $\upsilon_0=250$м/с: первый под углом $\alpha_1=60^{\circ}$ к горизонту, второй -  под углом $\alpha_2=45^{\circ}$. Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Координаты снарядов по обеим осям должны совпадать. Найдем их. Координаты по оси $x$:

$$\upsilon_0 \cos{\alpha_1} t_1=\upsilon_0 \cos{\alpha_2} t_2$$

$$\cos{\alpha_1} t_1= \cos{\alpha_2} t_2$$

Координаты по оси $y$:

$$\upsilon_0 \sin{\alpha_1} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\alpha_2} t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2}$$

$$\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)=\frac{g(t_2-t_1)(t_2+t_1)}{2}$$

$$ t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)}{g(t_1+t_2)}$$

Разделим правую часть на $t_1$, и числитель, и знаменатель:

$$ t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2}\frac{t_2}{t_1})}{g(1+\frac{t_2}{t_1})}$$

Отношение времен получим из $\cos{\alpha_1} t_1= \cos{\alpha_2} t_2$:

$$\frac{t_2}{t_1}=\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}}$$

Подставим:

$$ t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2}\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}})}{g(1+\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}})}$$

Домножим на $\cos{\alpha_2}$ правую часть, и числитель, и знаменатель:

$$ t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} -\sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1})}{g(\cos{\alpha_2}+\cos{\alpha_1})}$$

$$ t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin(\alpha_1 -\alpha_2)}{g(\cos{\alpha_2}+\cos{\alpha_1})}$$

Подставляем численные данные:

$$ t_2-t_1=\frac{2\cdot 250\sin{15^{\circ}}}{10(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2})}=\frac{100\sin{15^{\circ}}}{(\sqrt{2}+1)}=10,74$$

Ответ: 10,74 с