Шарик в трубе

Задача довольно сложная, олимпиадного уровня, хотя, если разобраться, то вполне решаемая. Ее предлагали на нескольких олимпиадах, в том числе в некоторых вузах.

Задача.  В трубу длины $l$, наклоненную под углом $\alpha$ к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью $\upsilon$. Определить время пребывания шарика в трубе, если удары об ее стенки упругие.

Шарик в трубе

Введем оси координат так, что ось $x$ направлена вдоль оси трубы, а ось $y$ - перпендикулярно ей, вверх. Тогда шарик будет двигаться с некоторым ускорением по обеим осям. Проекция ускорения свободного падения на ось $x$ равна $g_x=-g \sin{\alpha}$. Проекция начальной скорости на эту же ось равна $\upsilon \cos{\alpha}$. Таким образом, скорость вдоль оси $x$ будет меняться по закону:

$$\upsilon_x=\upsilon \cos{\alpha}- g \sin{\alpha} t$$

Теперь понятно, что наступит момент, когда эта скорость станет равной нулю, и движение шарика вдоль оси трубы прекратится, а затем он начнет двигаться в обратную сторону – падать. Найдем, за какое время скорость станет равной нулю:

$$\upsilon \cos{\alpha}- g \sin{\alpha} t=0$$

$$t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}$$

Посмотрим, насколько далеко сможет шарик улететь за это время:

$$S_x=\upsilon_x t-\frac{g_x t^2}{2}=\upsilon \cos{\alpha} t-\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}=\upsilon \cos{\alpha} \frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}-\frac{ g \sin{\alpha} }{2}\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{ g^2 \sin^2{\alpha}}=$$

$$=\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}-\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{2 g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}{2 g \sin{\alpha}}$$

Теперь мы знаем, сколько шарик может пролететь в трубе. То есть, если длина трубы меньше $S$, то шарик успеет из нее вылететь.  Тогда мы имеем квадратное уравнение для определения времени, только нужно заменить $S$ на $l$.

$$l=\upsilon \cos{\alpha} t-\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}$$

$$\frac{ g \sin{\alpha} t^2}{2}-\upsilon \cos{\alpha} t -l =0$$

Решим его и определим $t$.

$$D=\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+4l\frac{ g \sin{\alpha}}{2}=\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}$$

$$t_{1,2}=\frac{\upsilon \cos{\alpha} \pm \sqrt{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}}}{ g \sin{\alpha}}$$

Имеем два корня, какой из них выбрать? Шарик может двигаться в трубе, только если его скорость не нулевая, а время, за которое скорость вдоль оси $x$ станет равной нулю, мы нашли. То есть время пролета должно бьыть меньше времени, за которое убудет до нуля скорость - $t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}$.

Поэтому

$$t_1=\frac{\upsilon \cos{\alpha} - \sqrt{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}+2l g \sin{\alpha}}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gl \operatorname{tg}{\alpha}}{\upsilon^2 \cos{\alpha}}}\right)$$

Второй случай – когда $l>S$. Тогда составляющая скорости станет равной нулю, а потом шарик, так и не вылетев из трубы, начнет падать и вернется к месту, где он попал в трубу, затратив на это удвоенное время $t=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}$:

$$t_2=\frac{2\upsilon \cos{\alpha}}{ g \sin{\alpha}}=\frac{2\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}$$

Ответ: если шарик вылетает с противоположного конца трубы: $t_1=\frac{\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}\left(1-\sqrt{1-\frac{2gl \operatorname{tg}{\alpha}}{\upsilon^2 \cos{\alpha}}}\right)$

Если шарик не сможет преодолеть трубу и вылетит с того же конца, куда влетел:

$t_2=\frac{2\upsilon \operatorname{ctg}{\alpha}}{ g}$.