Мячик и две наклонные плоскости

Задача из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач." Задача требует внимательного перехода из одной системы координат в другую и грамотной записи уравнений с использованием проекций скоростей и ускорений.

Маленький шарик падает с нулевой начальной скоростью с некоторой высоты $H$ на наклонную плоскость. После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии $L=1,73$ м от линии соприкосновения плоскостей (см. рисунок). С какой высоты $H$ упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен $\alpha=15^{\circ}$.

По условию, удары упругие, то есть потерь энергии нет и угол падения равен углу отскока. Кроме того, чтобы шарик достиг той же высоты, он должен двигаться  после второго отскока  строго вертикально.

Рисунок

При падении с высоты $H$ скорость мячика будет

$$\upsilon^2-\upsilon_0^2=2gH$$

$$\upsilon^2=2gH$$

$$\upsilon=\sqrt{2gH}$$

Если угол падения и угол отскока от первой плоскости равны, то угол, под которым направлена скорость мячика по отношению к плоскости, равен $\beta=90^{\circ}-2\alpha$.

Тогда проекция этой скорости на плоскость будет равна $\upsilon \cos{\beta}$, и с этой скоростью шарик пролетит расстояние $L$. За какое время? Очевидно, что в точке максимального подъема проекция скорости на перпендикуляр к плоскости равна нулю:

$$\upsilon \sin{\beta}-g\cos{\alpha}t=0$$

Здесь использована проекция ускорения на ось, перпендикулярную плоскости.

$$t=\frac{\upsilon \sin{\beta}}{ g\cos{\alpha}}$$

Итак, для оси $x$, совпадающей с плоскостью, можем записать:

$$\frac{L}{\cos{\alpha}}=\upsilon \cos{\beta} t=\upsilon \cos{\beta}\frac{\upsilon \sin{\beta}}{ g\cos{\alpha}}=$$

$$=\upsilon^2\frac{\sin{2\beta}}{2g\cos{\alpha}}=\upsilon^2\frac{\sin(180-4\alpha)}{2g\cos{\alpha}}=\upsilon^2\frac{\sin{4\alpha}}{2g\cos{\alpha}}=2gH\frac{\sin{4\alpha}}{2g\cos{\alpha}}=\frac{H\sin{4\alpha}}{\cos{\alpha}}$$

$$L= H\sin{4\alpha}$$

Подставим числа:

$$H=\frac{L}{\sin{4\alpha}}=2$$

Ответ: 2 м.