Мячи и камушки в воздухе

В статье предложены задачи из книги "Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач". Задачи подобрались несложные, вполне решаемые. Можно использовать их как базу для подготовки к ЕГЭ или олимпиадам районного уровня.

Задача 1.

Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через время $t=2$ c на расстоянии $s=20$ м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полета?

Поскольку камень брошен под углом к горизонту, то скорость его может быть разложена на две составляющие: вертикальную и горизонтальную. Причем горизонтальная составляющая все время сохраняет свой модуль, не меняется, поскольку движение по горизонтальной оси – равномерное. Вертикальная же составляющая уменьшается все время под действием ускорения свободного падения до достижения камнем максимальной высоты подъема, а затем начинает увеличиваться (камень падает). На максимальной высоте вертикальная составляющая скорости камня равна 0. Поскольку скорость камня – результат векторного сложения обеих составляющих, то очевидно, что минимальной скорость будет тогда, когда вертикальная составляющая нулевая. А горизонтальная составляющая может быть рассчитана по известной формуле для равномерного движения:

$$\upsilon_{min}=\frac{s}{t}=\frac{20}{2}=10$$

Ответ: 10 м/с.

Задача 2.

Из одной точки одновременно брошены два маленьких камушка с одинаковой начальной скоростью $\upsilon_0=10$ м/с под углами $\alpha=30^{\circ}$ и $2\alpha$ к горизонту. Камушки смещаются в горизонтальном направлении в одну сторону и в течение полета все время находятся в одной вертикальной плоскости. Найти расстояние между камушками спустя время $\t=0,5$ с после начала полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Закон движения первого камушка по оси $x$:

$$x_1=\upsilon_0 \cos{\alpha} t$$

Закон движения второго  по той же оси:

$$x_2=\upsilon_0 \cos{2\alpha} t$$

Закон движения первого камушка по оси $y$:

$$y_1=\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Для второго:

$$y_2=\upsilon_0 \sin{2\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$$

Расстояние найдем по теореме Пифагора, катеты – это разности координат камушков по осям:

К задаче 2

$$x_1-x_2=\upsilon_0 \cos{\alpha} t-\upsilon_0 \cos{2\alpha} t=\upsilon_0 t(\cos{\alpha}-\cos{2\alpha})$$

$$y_2-y_1=\upsilon_0 \sin{2\alpha} t-\upsilon_0 \sin{\alpha} t=\upsilon_0 t(\sin{2\alpha}-\sin{\alpha})$$

Применяем Пифагора:

$$l^2=( x_1-x_2)^2+( y_2-y_1)^2=\upsilon_0^2 t^2(\cos{\alpha}-\cos{2\alpha})^2+\upsilon_0^2 t^2(\sin{2\alpha}-\sin{\alpha})^2$$

$$l^2=\upsilon_0^2 t^2\left(\cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\cos{2\alpha}+\cos^2{2\alpha}+\sin^2{2\alpha}-2\sin{2\alpha}\sin{\alpha}+\sin^2{\alpha}\right)=$$

$$\upsilon_0^2 t^2\left(2-2(\sin{2\alpha}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}\cos{2\alpha})\right)$$

$$l=\upsilon_0 t\sqrt{2-2\cos{\alpha}}=\upsilon_0 t\sqrt{2(1-\cos{\alpha})}=\upsilon_0 t\sqrt{2\cdot 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=2\upsilon_0 t\sin(\frac{\alpha}{2})$$

Подставляем числа:

$$ l=2\cdot 10 \cdot 0,5\sin(15^{\circ})=2,58$$

Ответ: 2,6 м.

Задача 3.

Мальчик бросает мяч в направлении вертикальной стены так, чтобы мяч, отскочив, упал точно к его ногам. Какова должна быть начальная скорость мяча $\upsilon_0$, если бросок производится с высоты $h=1,5$ м под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту? Расстояние от мальчика до стены $l=6$ м. Удар мяча о стену считать абсолютно упругим.

Движение мяча по оси $x$ равномерное, скорость по оси $x$ - проекция $\upsilon_0 \cos{\alpha}$. Так как мяч отскакивает абсолютно упруго, то угол падения равен углу отскока. Поэтому траектория, по которой мяч будет двигаться после отскока – это просто отражение траектории, по которой он двигался бы, не будь стенки на его пути. Таким образом, можно пользоваться вторым рисунком – многим это сильно облегчает решение.

К задаче 3

По оси $x$, таким образом, мяч пролетит расстояние $2l$:

$$\upsilon_0 \cos{\alpha} t=2l$$

Закон движения по оси $y$:

$$h+\upsilon_0 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}=0$$

Получим время $t$ из первого уравнения:

$$t=\frac{2l}{\upsilon_0 \cos{\alpha} }$$

И подставим во второе:

$$h+\frac{2l\upsilon_0 \sin{\alpha} }{\upsilon_0 \cos{\alpha}}-\frac{2gl^2}{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}=0$$

$$h+2l\operatorname{tg}{\alpha}-\frac{2gl^2}{\upsilon_0^2 \cos^2{\alpha}}=0$$

Получим начальную скорость из этого уравнения:

$$\upsilon_0^2=\frac{2gl^2}{\cos^2{\alpha} (h+2l\operatorname{tg}{\alpha})}$$

Извлекаем корень:

$$\upsilon_0=\frac{l}{\cos{\alpha}}\sqrt{\frac{2g}{h+2l\operatorname{tg}{\alpha}}}$$

Теперь можно подставить численные данные:

$$\upsilon_0=\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\sqrt{\frac{20}{1,5+12}}=10,35$$

Ответ: 10,35 м/с