Лунка и горка

Две задачи на движение под углом к горизонту, одна - с лункой, другая - с горкой.

Задача 1.

  В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени при движении шарика слева направо равен $T_1$, справа налево - $T_2$. Определить радиус $R$ лунки.

К задаче 1

Рассмотрим, например, синюю траекторию (движение справа налево). Время движения до наивысшей точки подъема определим из

$$\upsilon_y=\upsilon_{y0}-gt$$

$$0=\upsilon_0\sin\alpha -gt$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin\alpha }{g}$$

Полное время движения равно $T_1=2t$

$$T_1=\frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Расстояние между точками ударов тогда будет равно

$$l=\upsilon_x \cdot T_1=\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}$$

Но, совершенно аналогично, рассмотрев рыжую траекторию, можем записать

$$l=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$$

Приравняем правые части

$$\upsilon \cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}=\upsilon \cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_0\sin\beta }{g}$$

Так как

$$\sin\alpha \cos \alpha=\sin\beta \cos \beta$$

Это означает, что $\alpha+\beta=90^{\circ}$.

Из (1)

$$\sin\alpha=\frac{T_1g}{2\upsilon_0}$$

$$\cos \alpha=\sin\beta=\frac{T_2g}{2\upsilon_0}$$

Тогда

$$l=2\upsilon_0^2\cdot \frac{T_1g}{2g\upsilon_0}\cdot \frac{T_2g}{2\upsilon_0}=\frac{gT_1T_2}{2}$$

Треугольник $ABC$ прямоугольный с острыми углами $\varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}=45^{\circ}$, его медиана равна половине гипотенузы и является в нем высотой. Радиус лунки найдем из треугольника $BHC$:

$$R^2=\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{4}$$

$$R=\frac{l}{\sqrt{2}}$$

$$R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$$

Ответ: $R=\frac{gT_1T_2}{2\sqrt{2}}$.

Задача 2.

Сферическая горка имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости $\upsilon_0$  камень, брошенный с поверхности земли, перелетит через горку, не коснувшись ее поверхности?

К задаче 2

Проекция начальной скорости камня  на ось $y$ равна

$$\upsilon_{y0}=\upsilon_0\sin\alpha$$

Так как в наивысшей точке подъема эта проекция равна нулю, то по формуле «без времени» найдем максимальную высоту подъема:

$$2H_{max}g=(\upsilon_0\sin\alpha)^2$$

$$ H_{max}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}=R~~~~~~~~~(2)$$

$$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}}{\sin\alpha }$$

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2gR}}{\upsilon_0}$$

Радиус кривизны траектории в наивысшей точке подъема определим так:

$$a_n=\frac{\upsilon_x^2}{R_{kr}}=g$$

$$ R_{kr}=\frac{\upsilon_x^2}{g}=R=\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}~~~~~(3)$$

Приравняем (2) и (3):

$$\frac{\upsilon_0^2\cos^2\alpha}{g}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha }{2g}$$

Откуда

$$\cos \alpha=\frac{\sqrt{gR}}{\upsilon_0}$$

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}{\upsilon_0}$$

$$\upsilon_0=\frac{\sqrt{2gR}\upsilon_0}{\sqrt{\upsilon_0^2-gR}}$$

Таким образом,

$$\frac{2gR}{\upsilon_0^2-gR }=1$$

$$\upsilon_0^2-gR=2gR$$

$$\upsilon_0^2=3gR$$

$$\upsilon_0=\sqrt{3gR}$$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{3gR}$