Камень, брошенный под углом к горизонту, и его тень

Откуда задача – сказать не могу. Решение свое отыскала в куче неразобранных бумаг, текст воспроизвожу по памяти.

Задача.  Камень бросили со скоростью $\upsilon$ под углом  $\beta$ к горизонту. Найти максимальное расстояние, на котором может оказаться тень этого камня от места бросания.

Решение. 1. Предположим, что высота Солнца над горизонтом $\alpha \geqslant 45^{\circ}$. Тогда тень от камня будет перемещаться вместе с камнем так, как показано на рисунке.

Высота солнца над горизонтом больше 45 градусов

То есть расстояние от точки бросания до тени будет все время увеличиваться и наконец, когда камень упадет на землю, станет равно максимальному  - то есть дальности полета камня (координата тени совпадает с координатой камня, она под ним). В этом случае

$$l_1=\upsilon_x \cdot 2t=\upsilon \cos {\beta} \cdot \frac{2\upsilon \sin {\beta}}{g}=\frac{\upsilon^2\sin(2\beta)}{g}$$

В свою очередь, дальность максимальна при броске под углом $45^{\circ}$.

2. Теперь предположим, что высота cолнца меньше, чем $45^{\circ}$ над горизонтом. Тогда тень от камня будет перемещаться следующим образом:

Высота солнца над горизонтом меньше 45 градусов

Таким образом, тень от камня будет расположена максимально далеко от точки бросания, когда камень окажется в той точке траектории, где лучи cолнца являются касательными к ней. Давайте определим это расстояние, это уже геометрическая задача.

По направлению $AB$, перпендикулярному солнечным лучам, камень движется с некоторой начальной скоростью, равной проекции его скорости на это направление. Проекция всегда меньше, чем сама скорость. Поэтому дальность движения камня по направлению $AB$ будет максимальной, если проекция и сама скорость совпадут, это будет при $\beta=90^{\circ}-\alpha$. Также движение по этому направлению происходит с ускорением $g\cos{\alpha}$.

Определение расстояния до тени

Тогда это максимальное расстояние $AB$ обеспечит и максимальную дальность тени:

$$2g\cos\alpha \cdot H=\upsilon^2$$

$$H=\frac{\upsilon^2}{2g\cos\alpha }$$

$$l_2=\frac{H}{\sin {\alpha}}=\frac{\upsilon^2}{2g\cos\alpha \sin {\alpha} }=\frac{\upsilon^2}{g\sin {2\alpha} }$$

Ответ: при высоте солнца менее $45^{\circ}$ над горизонтом $ l_1=\frac{\upsilon^2\sin(2\beta)}{g}$, дальность максимальна при $\beta=45^{\circ}$; при меньшей высоте Солнца над горизонтом и условии $\beta=90^{\circ}-\alpha$   $ l_2=\frac{\upsilon^2}{g\sin {2\alpha} }$.