Геометрия в физике: конспект вебинара – 6

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – шестая статья серии.

Теорема 4 «О равенстве равновеликих треугольников. Докажите, что два равновеликих треугольника с равным углом и равной противоположной стороной равны.

Доказательство.

Так как у треугольников одна и та же площадь и одно и то же основание, то у них и одна и та же высота.

К теореме 4

Совместим основания. Один и тот же угол опирается на основание $a$ - получившийся четырехугольник $ABCD$ – вписанный.

Опишем окружность в теореме 4

Угол $CBD$ равен углу $CAD$ - вписанные, опирающиеся на одну дугу. А так как $BC \parallel AD$, то угол $CAD$ равен $ACB$ как накрест лежащие. В свою очередь углы $ACB$ и $ADB$ равны (вписанные), и таким образом треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Доказано.

Задача 15.

Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углами $\alpha$ и $\beta$ к горизонту с одинаковой начальной скоростью $\upsilon_0$. На каком расстоянии по горизонтали струи пересекутся?

К задаче 15

Решение.

У капель одинаковое перемещение. Рисуем треугольник скоростей для первой капельки – его верхнюю половину. И верхнюю половину треугольника скоростей для второй капельки. Обозначим все углы.

Треугольники скоростей в задаче 15

Треугольники $ABC$ и $AED$ равновелики (перемещение капельки одно и то же в обоих случаях). По теореме, доказанной ранее, эти треугольники имеют одинаковую сторону и угол против нее, и, будучи равновеликими, равны.

$$S=\frac{1}{4}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_0^2\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin(\alpha+\beta)}$$

Эту формулу мы вывели в статье 4 (см. отступление-напоминание из статьи 4).

Откуда

$$L=\frac{2\upsilon_0^2\cos \alpha \cos \beta }{g\sin(\alpha+\beta)}$$

Ответ: $L=\frac{2\upsilon_0^2\cos \alpha \cos \beta }{g\sin(\alpha+\beta)}$

Задача 16.

Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два злобных мышонка выстрелили в него из рогатки. Однако камень, описав дугу, через $t_1 = 1,2$ с упруго отразился от наклонного ската крыши сарая у самых лап кота и через $t_2 = 1,0$ с попал в лапу стрелявшего мышонка (см. рисунок). На каком расстоянии $S$ от мышей находился кот Леопольд? (ВсОШ, 2000, финал, 9кл)

Решение: рисуем треугольник скоростей  для броска мышей:

Бросок мышей

И треугольник скоростей для отскока камня. Так как удар упругий – то начальной скоростью камня в этом случае будет $\upsilon_k$, а конечной скоростью камня будет  $\upsilon_0$.

Отскок камня

Половинки треугольников скоростей

Рассмотрим треугольники $MNK$ и $TRC$. Их площади одинаковы, так как перемещение одно и то же. Угол $MKN$ равен углу $TRC$, стороны $MN$ и $TC$ равны. То есть по доказанной ранее теореме 4 треугольники равны.

$$\frac{gt_1}{2}=\frac{S}{t_2}$$

$$S=\frac{gt_1t_2}{2}$$

Ответ: $S=\frac{gt_1t_2}{2}$.

Задача 17.

Из точки А склона с одинаковыми по модулю скоростями бросают два камня строго вдоль склона, камни приземляются в точку В. Чему равна скорость камней в точке В, если время полета одного камня $t_1$, а второго — $t_2$. Угол наклона склона относительно горизонта равен $\alpha$.

К задаче 17

Решение. Рисуем треугольники скоростей для обоих камней, наложим их друг на друга.

Треугольники скоростей из задачи 17

Площадь всего треугольника скоростей равна $\frac{1}{2}Lg$, площадь половины - $\frac{1}{4}Lg$. Площади треугольников $ABC$ и $ADE$ равны. Также фиолетовой дугой показаны равные углы. Также в этих треугольниках против равных углов лежат равные стороны – поэтому треугольники равны. А значит, т.к.

$$\frac{gt_1}{2}\neq \frac{gt_2}{2}$$

То

$$\frac{S}{t_1}=\frac{gt_2}{2}$$

Составим теорему косинусов для треугольника $ADE$:

$$\upsilon_k=\frac{g}{2}\sqrt{t_2^2+t_1^2-2t_1t_2\sin \alpha}$$

Ответ: $\upsilon_k=\frac{g}{2}\sqrt{t_2^2+t_1^2-2t_1t_2\sin \alpha}$.