Геометрия в физике: конспект вебинара – 5

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – пятая статья серии.

Задача 12.

Камень бросают под углом $\alpha$ к горизонту с вершины горы, склон которой образует угол $\beta$ с горизонтом. С какой скоростью $\upsilon_0$ нужно бросить камень, чтобы он упал на склон горы на расстоянии $S$ от вершины? Решение. Можно решить и координатным способом: дан угол, известно расстояние. Но через треугольник скоростей будет быстрее. Рисуем его:

К задаче 12

Медиана этого треугольника – перемещение, деленное на время. Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, то угол $B$ в нем равен $90^{\circ}-\alpha$. В треугольнике $ACD$, тоже прямоугольном, угол $D$ равен $90^{\circ}-\beta$. Запишем площадь треугольника $ABD$ - это половина треугольника скоростей (по площади), так как $AD$ - медиана треугольника скоростей. С одной стороны, это $\frac{1}{4}Lg=\frac{1}{4}S\cos \beta g $, с другой (см. отступление-напоминание из статьи 4), $$S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin (90^{\circ}-\alpha)\sin (\alpha+\beta)}{\sin(90^{\circ}-\beta)}$$

$$S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}{\cos \beta}$$

$$\upsilon_0^2=\frac{S g\cos^2 \beta }{2\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{S g\cos^2 \beta }{2\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}}$$

Ответ: $\upsilon_0=\sqrt{\frac{S g\cos^2 \beta }{2\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}}$.

Задача 13.

Пушка установлена на плоском склоне горы, образующем угол $\alpha= 30^{\circ}$ с горизонтом. При выстреле «вверх» по склону снаряд падает на склон на расстоянии $S_1 = 700$ м от места выстрела. В момент падения скорость снаряда перпендикулярна поверхности склона. Пушку разворачивают на $180^{\circ}$ и производят второй выстрел «вниз» по склону. Затем пушку перемещают на горизонтальную поверхность и производят третий выстрел. Угол наклона ствола к поверхности, с которой стреляют, при всех выстрелах одинаков. 1. На каком расстоянии $S_2$ от места второго выстрела снаряд упадет на склон? 2. Найдите дальность $L$ стрельбы при третьем выстреле. («Физтех», 2019, 10) Решение. Так как $S_1$ задано, а $L=S_1\cos \alpha$, то площадь правого треугольника скоростей известна: $\frac{1}{2}S_1\cos \alpha g$. Площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ACG$ (т.к. $AC$ - медиана). Пусть площадь $ABC$ равна $x$, тогда и площадь $ACG$ - тоже $x$.

К задаче 13 - рисунок 1

Удвоим медиану. Получим параллелограмм $ABKG$, площади треугольников $S_{CBL}=S_{CLG}=x$. Отмечаем известные нам углы на рисунке: например, углы $90^{\circ}-\alpha$ (синей дугой). Перпендикуляры $DM, AN, BL$ равны. Следовательно, треугольники $EDM$ и $CBL$ равны по катету и острому углу. Тогда $BC=DE$, а это означает, что время падения в первом случае равно времени падения во  втором.

К задаче 13 - рисунок 2

Треугольники $ADM$ и $ABL$ равны по катету и гипотенузе, поэтому площадь треугольника $ADM$ равна $2x$, а площадь треугольника $EDM$ - $x$. $$S_{ABL}=2x=\frac{1}{2}S_1\cos \alpha g$$ Тогда $$S_{ADE}=3x$$ Площадь $S_{AFE}=3x$ т.к. $AE$ - медиана, $S_{AFD}=6x$. Но $$6x=\frac{1}{2}S_2\cos \alpha g$$ $$\frac{S_2}{S_1}=\frac{6x}{2x}=\frac{3}{1}$$ $$S_2=2100$$ Осталось найти $L$. Строим треугольник скоростей для этого случая, и замечаем, что треугольник $PQR$ равен треугольнику $ABL$, а площадь последнего - $2x$.

Треугольник скоростей при горизонтальном выстреле

То есть $$4x=\frac{1}{2}Lg$$ $$L=\frac{8x}{g}=2S_1\cos \alpha=1400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=700\sqrt{3}$$ Ответ: $S_2=2100$ м, $L=1211$ м.

Задача 14.

Человек стреляет из пушки по мишени. На расстоянии 300 м от него стоит стенка высотой 120 м, за которой на расстоянии 100 м на земле стоит мишень. С какой скоростью ядро вылетит из пушки при удачном выстреле? («Курчатов», 2019, 9 кл) Решение: произведем бросок под углом $45^{\circ}$.

К задаче 14

Изобразим треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 14

  Его площадь равна $$\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_0^2$$ $$L=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$ Дальность полета нам известна, значит, известна и  величина $\frac{\upsilon_0^2}{g}$. Теперь проверим, на какой максимальной высоте окажется тело при таком броске.

Пояснения к задаче 14

Бросаем под углом $45^{\circ}$, поэтому треугольник скоростей равнобедренный, и его катеты равны $\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}$. Тогда $$\sqrt{2g H_{max}}=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}$$ $$2g H_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{2}$$ $$ H_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{4g}=\frac{L}{4}=100$$ То есть при броске под углом $45^{\circ}$ стенку мы не перебросим. То есть надо бросить так, чтобы коснуться стенки:

Оптимальная траектория

Надо записать уравнение параболы так, чтобы тело, двигаясь по ней, коснулось стенки. Это можно сделать координатным способом, получить два уравнения, одно из которых содержит тангенс $\alpha$, другое – синус двойного угла. Решить систему из двух уравнений при этом сложно. Поэтому решать будем снова с использованием треугольника скоростей.

Произвольные отрезки до стены и за стеной

Треугольник скоростей в задаче 14

Площадь треугольника 1: $$S_1=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1+L_2}{2}$$ Площадь треугольника 2: $$S_2=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1-L_2}{2}$$ Площади треугольников 1 и 2 относятся как $$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\sqrt{2gH_{max}}}{\sqrt{2g(H_{max}-h)}}=\frac{ L_1+L_2}{ L_1-L_2}$$ $$1-\frac{h}{ H_{max}}=\left(\frac{ L_1-L_2}{ L_1+L_2}\right)^2$$ $$ H_{max}=\frac{h}{1-\left(\frac{ L_1-L_2}{ L_1+L_2}\right)^2}=\frac{120}{1-\left(\frac{200}{400}\right)^2}=\frac{120}{1-\frac{1}{4}}=160$$ Определяем скорость, для этого составим теорему Пифагора для треугольника скоростей: $$\upsilon_0^2=2gH_{max}+\upsilon_{min}^2$$ Площадь треугольника 1 равна $$S_1=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1+L_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot\frac{300+100}{2}=1000$$ С другой стороны, $$S_1=\frac{1}{2}\upsilon_{min}\cdot \sqrt{2gH_{max}}$$ $$\upsilon_{min}=\frac{2S_1}{\sqrt{2gH_{max}}}=\frac{2000}{\sqrt{20\cdot160}}=\frac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}$$ $$\upsilon_0^2=2gH_{max}+\upsilon_{min}^2=20\cdot 160+625\cdot 2=4450$$ $$\upsilon_0=\sqrt{4450}=66,7$$ Ответ: 66,7 м/с.