Геометрия в физике: конспект вебинара – 3

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – третья статья серии.

Задача 7.

С башни бросили тело со скоростью $\upsilon_0$, при этом угол $\beta$ наименьший из всевозможных углов конечной скорости к горизонту. Определить высоту башни.

Решение. Когда с башни бросают тело, его можно бросить с одной и той же скоростью под любым углом к горизонту. При этом конечная скорость, как доказано в теореме 2, будет по модулю одной и той же. То есть конец вектора скорости $\upsilon_0$ может перемещаться по окружности (бросаем произвольно), но и конец вектора скорости $\upsilon_k$ тоже будет перемещаться по окружности.

К задаче 7 - годографы скоростей

Пусть сначала бросают под большим углом (рыжим цветом), а потом под меньшим (коричневым). Видно, что угол наклона конечной скорости к горизонту при переходе от рыжего варианта броска к коричневому уменьшился. Если бросить горизонтально (си ним цветом), то этот угол еще уменьшится и будет минимальным – действительно, бросить так, чтобы он был меньше, чем при синем варианте, не получится.

Минимальный угол

Теперь сделаем отступление от задачи. Представим ситуацию: камень бросили под углом к горизонту с возвышения.

Рисунок к "отступлению"

Тогда минимальной скорость камня будет в самой высокой точке и эта скорость будет связана с начальной так:

$$\upsilon_0^2-\upsilon_{min}^2=2gH_{max}$$

А конечная скорость и минимальная связаны между собой так:

$$\upsilon_k^2-\upsilon_{min}^2=2g(H_{max}+h)$$

Треугольник скоростей к "отступлению"

Возвращаемся к нашему треугольнику скоростей. В нем $\upsilon_0$ - это как раз минимальная скорость, а вертикальный катет – не только $gt$, но и $\sqrt{2gH}$.

$$\upsilon_0 \operatorname{tg}\beta =\sqrt{2gH}$$

$$H=\frac{\upsilon_0^2 \operatorname{tg}^2\beta }{2g}$$

Ответ: $H=\frac{\upsilon_0^2 \operatorname{tg}^2\beta }{2g}$

Задача 8.

Со скалы, возвышающейся над морем на высоту $h = 25$ м, бросили камень. Найдите время его полёта, если известно, что непосредственно перед падением в воду камень имел скорость $\upsilon = 30$ м/с, направленную под углом $\beta = 120^{\circ}$ к начальной скорости. (МОШ, 2018, 9)

Решение: изобразим треугольник скоростей.

К задаче 8

Так как конечная скорость известна и известна высота, то скорость, с которой камень бросили, тоже фиксирована.

$$\upsilon_0=\sqrt{\upsilon ^2-2gh}$$

Тогда для треугольника скоростей по теореме косинусов

$$g^2t^2=2\upsilon_0^2-2gh-2\upsilon_0\sqrt{\upsilon ^2-2gh }\cdot \cos \beta$$

$$t=\frac{\sqrt{2\upsilon_0^2-2gh-2\upsilon_0\cos \beta \sqrt{\upsilon ^2-2gh } }}{g}$$

Задача 9.

Начальная скорость камня, брошенного под некоторым углом к горизонту, равна $\upsilon_0$, а спустя время $t$ его скорость составляет скорость $\upsilon_k$. На какую максимальную высоту $H_{max}$ поднимется этот камень?

Решение. Изобразим треугольник скоростей.

К задаче 9 - треугольник скоростей

Для него по теореме косинусов

$$\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+g^2t^2-2gt\upsilon_0 \cos \varphi$$

С другой стороны,

$$\upsilon_0 \cos \varphi=\sqrt{2gH_{max}}$$

$$2gt\sqrt{2gH_{max}}=\upsilon_0^2+g^2t^2-\upsilon_k^2$$

$$4g^2t^2\cdot 2gH_{max}=(\upsilon_0^2+g^2t^2-\upsilon_k^2)^2$$

$$ H_{max}=\frac{\left(\frac{\upsilon_0^2+g^2t^2-\upsilon_k^2}{2gt}\right)^2}{2g}$$

$$ H_{max}=\frac{(\upsilon_0^2+g^2t^2-\upsilon_k^2)^2}{8g^3t^2}$$

Ответ: $ H_{max}=\frac{(\upsilon_0^2+g^2t^2-\upsilon_k^2)^2}{8g^3t^2}$