Геометрия в физике: конспект вебинара – 11

Серия статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – одиннадцатая статья серии. Вторая часть вебинара.

Задача 4.

Дана вертикаль, две точки в пространстве и отрезок длиной $\frac{\upsilon^2}{2g}$. Определите геометрически, где расположена максимальная высота подъема тела, пролетающего через эти две точки. Рассмотрите все принципиально различные ситуации. $\upsilon$ - скорость в одной из точек.

К задаче 4

Решение.

Рисуем окружность радиуса $\frac{\upsilon^2}{2g}$. Горизонтальная касательная сверху – это директриса параболы и уровень полной энергии тела.

Директриса параболы

Проводим из второй точки к директрисе перпендикуляр – это будет радиус $\frac{\upsilon_k^2}{2g}$ второй окружности. Все такие окружности, как мы помним из предыдущей статьи, пересекаются в фокусе параболы. У нас две точки пересечения – красная и синяя.

Рисуем вторую окружность. Радиус - расстояние от второй точки до директрисы.

Посередине перпендикуляра, проведенного из фокуса к директрисе, расположена точка максимальной высоты подъема тела (помечена фиолетовым). В этой точке скорость направлена по горизонтали.

Для удобства изобразим два квадрата со сторонами $2h$. В их углах скорость тела направлена под углом в $45^{\circ}$ и через эти углы проходит траектория тела.

Направления скоростей

Теперь можно по нескольким точкам восстановить параболу:

Восстанавливаем параболу безопасности

Но есть и еще один фокус – синяя точка. Тогда посередине перпендикуляра, проведенного из фокуса к директрисе, расположена точка максимальной высоты подъема тела (помечена фиолетовым).

Проделываем со вторым возможным фокусом те же шаги

Снова рисуем квадраты со сторонами, равными расстоянию от фокуса до директрисы и ставим в их углах контрольные точки (зеленым).

Снова квадраты

И восстанавливаем параболу: через полученные точки и центры окружностей.

Парабола безопасности для второго фокуса

Получили две траектории: навесную (первая) и настильную (вторая). Теперь начинаем отодвигать вторую точку от первой строго горизонтально, не меняя ее расстояния от директрисы. Вторая окружность начинает смещаться относительно первой и точки их пересечения начинают сближаться. Пока этих точек (фокусов) два, будут и две траектории. Когда окружности будут касаться, фокус останется единственный – точка касания окружности. То есть навесная и настильная траектории схлопнулись в одну.

Предельное положение окружностей

Скорости в центрах окружностей, через которые проходит парабола, направлены по биссектрисам углов между вертикалью (перпендикуляром к директрисе) и направлением на фокус. Эти скорости перпендикулярны друг другу. Точка, в которой пересекутся прямые, которым принадлежат векторы скоростей, делит отрезок $AB$ пополам.

Чтобы построить параболу безопасности, впишем окружности различных радиусов так, чтобы они качались и большой, базовой, окружности, и директрисы. Их центры как раз и дадут нам параболу безопасности – то есть границу максимального удаления от точки броска.

Поздравляю, теперь у нас несколько принципиально различных способов решения задач на оптимальный бросок!

Задача 5.

«Классическая задача о максимальной дальности полета». При осаде древней крепости осаждённые вели стрельбу по наступающему противнику с помощью катапульт из-за крепостной стены высотой $h = 20,4$ м. Начальная скорость снарядов $\upsilon_0 = 25$ м/с. На каком максимальном расстоянии $L_{max}$ от стены находились цели, которых могли достигать снаряды катапульт? (ВсОШ, 2004, финал, 9кл)

Решение. Рассмотрим способ, связанный с треугольником скоростей. Его площадь $\frac{1}{2}Lg$ должна быть максимальной – значит, скорости начальная и конечная перпендикулярны.

$$\upsilon_k^2=\upsilon_0^2-2gh$$

$$\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_k\upsilon_0$$

$$L=\frac{\upsilon_k\upsilon_0}{g}=\frac{\upsilon_0\sqrt{\upsilon_0^2-2gh }}{g}=38$$

Теперь решим эту задачу через параболу безопасности. Самая дальняя точка – это место пересечения параболы безопасности с горизонтом.

Нарисуем уровень максимальной (полной) энергии тела – для этого построим окружность радиусом $h$ или $\frac{\upsilon_0^2}{2g}$, и вторую окружность – радиусом $\frac{\upsilon_0^2-2gh}{2g}$. Так как точка лежит на параболе безопасности, окружности обязательно должны касаться.

К задаче 5

Для треугольника, образованного высотой $h$, дальностью $L$ и двумя радиусами, составим теорему Пифагора:

$$L_{max}^2+h^2=\left(\frac{\upsilon_0^2-2gh}{2g}+\frac{\upsilon_0^2}{2g}\right)^2$$

$$ L_{max}^2=\left(\frac{\upsilon_0^2}{g}-h\right)^2-h^2$$

$$ L_{max}^2=\frac{\upsilon_0^4}{g^2}-2h\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

$$ L_{max}^2=\frac{\upsilon_0^2}{g}\left(\frac{\upsilon_0^2}{g}-2h\right)$$

$$ L_{max}=\sqrt{\frac{\upsilon_0^2}{g}\left(\frac{\upsilon_0^2}{g}-2h\right)}=\frac{\upsilon_0\upsilon_k}{g}$$

Получили тот же ответ.