Геометрия в физике: конспект вебинара – 10

Серия статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Вторая часть вебинара. Это – десятая статья серии.

Задача 3.

«Неожиданно простые блиц задачи». С некоторой высоты бросили горизонтально тело. Известно, что нулевой уровень потенциальной энергии откалиброван так, что потенциальная энергия равна кинетической энергии брошенного тела ($E_k =E_p$):

1) под каким углом тело пересечет нулевой уровень потенциальной энергии;

2) докажите, что высота $Н_{max}$, соответствующая уровню полной механической энергии, в два раза больше высоты $H$ горизонтального броска ($H_{max}=2H$);

3) докажите, что дальность полета по горизонтали до точки пересечения уровня нулевой потенциальной энергии телом также равна $H_{max}$ $(L=2Н)$;

4) докажите, что сумма радиус-вектора, проведенного из точки (0;0), и высоты, на которой находится в данный момент тело, величина постоянная и равная $H_{max}$ ($r+h= H_{max}$);

5) докажите, что радиус-вектор, проведенный из точки (0;0), по модулю равен квадрату скорости тела в данный момент времени деленной на $2g$ $(r=\frac{\upsilon^2}{2g})$;

6) докажите, что расстояние от тела до уровня полной механической энергии в любой момент времени равно модулю радиус-вектора, проведенного из точки (0;0);

7) докажите, что скорость тела $\upsilon$ в данный момент времени всегда направлена по биссектрисе угла между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из точки (0;0);

8) определите зависимость радиус-вектора, проведенного из точки (0;0), от угла между вертикалью и этим радиус вектором.

9) где находится фокус параболы, по которой движется тело, и где находится её директриса.

Решение.

1.По условию

$$mgH=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Откуда

$$\upsilon_0=\sqrt{2gH}$$

Конечная и начальная скорости связаны:

$$\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}$$

Тогда

$$\upsilon_k=\sqrt{4gH}$$

$$\upsilon_k=\sqrt{2}\sqrt{2gH}$$

Получается, в треугольнике скоростей гипотенуза - $\upsilon_k$ - в $\sqrt{2}$ раз больше катета. Значит, треугольник скоростей равнобедренный и катет $gt$ тоже равен $\sqrt{2gH}$.

Равнобедренный треугольник скоростей

Следовательно, конечная скорость направлена под углом $45^{\circ}$.

2.Записываем закон сохранения энергии:

$$mgH_{max}=E_k+E_p=\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgH=mgH+mgH=2mgH$$

Откуда

$$ H_{max}=2H$$

К пункту 2

Пусть тело оказалось на высоте $h$ после броска.

Так как уровень полной энергии тела $2H$ неизменен, а уровень $h$ определяет потенциальную энергию, то расстояние от уровня полной энергии тела до точки траектории на высоте $h$ определяет кинетическую энергию. Пусть на этой высоте скорость тела $\upsilon_k$

$$ mgH_{max}=\frac{m\upsilon_k^2}{2}+mgH$$

Делим на $mg$

$$ H_{max}=\frac{\upsilon_k^2}{2g}+H$$

3.Рисуем треугольник скоростей. Он прямоугольный, равнобедренный – поскольку падаем на уровень нулевой потенциальной энергии.

К пункту 3

Площадь треугольника скоростей

$$\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}(\sqrt{2gH})^2$$

$$Lg=2gH$$

$$L=2H$$

4.Рисуем треугольник скоростей:

К пункту 4

Записываем площадь:

$$\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\sqrt{2gH}\cdot \sqrt{2g(H-h)}$$

$$L^2g^2=4g^2H(H-h)$$

$$L^2=4H(H-h)$$

Согласно теореме Пифагора

$$r^2=L^2+h^2=4H(H-h)+h^2=4H^2-4Hh+h^2=(2H-h)^2$$

$$r=2H-h$$

Откуда

$$r+h=2H=H_{max}$$

К пункту 5

5.По доказанному ранее: $r+h= H_{max}$ - перепишем это в виде закона сохранения энергии, глядя на рисунок:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+mgh=mg H_{max}$$

Делим на $mg$

$$\frac{\upsilon^2}{2g}+h= H_{max}$$

Получаем, что

$$r=\frac{\upsilon^2}{2g}$$

6.Доказано в ходе рассмотрения п.4 и отмечено на рисунке.

7.Рисуем треугольник перемещений и делим его на время.

Треугольник перемещений, деленный на время

Теперь на основе этого треугольника строим треугольник скоростей. Вместо вектора конечной скорости проведем его половину - $\frac{\upsilon_k}{2}$. Также надстроим вверх вектор $\frac{H}{t}$. По доказанному ранее $\frac{H}{t}+\frac{gt}{2}=\frac{r}{t}$.

Проводим $AB$. Треугольники $AED$ и $DBF$ равны по двум углам и катету $\frac{H}{t}$, поэтому $AB$ пересечет вектор $\upsilon_0$ в его середине. То есть вектор $\frac{\upsilon_k}{2}$ - медиана равнобедренного треугольника $ABC$, а значит, и его высота. Угол $ACD$ равен углу $BCD$ - и мы доказали п.7.

Треугольник скоростей

$$h=r\cos \varphi$$

$$r+h=r+ r\cos \varphi =H_{max}$$

$$r=\frac{ H_{max}}{1+\cos \varphi }$$

9.Получается, фокус параболы находится в точке $F$.

Парабола: фокус и директриса

Все окружности, имеющие центры на параболе, будут пересекаться в точке фокуса! И касаться директрисы. Эти два факта помогут нам в решении задач.

Скорость в точках $A$ и $B$ направлена по биссектрисе угла, образованного двумя радиусами: радиусом-перпендикуляром к директрисе, и радиусом, проведенным в фокус.

Окружности с центрами на параболе