Геометрия в физике: конспект вебинара - 1

Начинаю серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной.

Решать задачу, если задача о броске тела под углом к горизонту, можно с помощью координатного метода. Он всем нам знаком. Для его использования необходимо ввести оси координат, и записать обе координаты тела. Если угол, под который был произведен бросок, известен, то применение данного метода является простым и удобным. Можно с его помощью рассчитать движение тел, брошенных неодновременно. Однако, как и у любого другого метода, у этого есть свои недостатки. Если начальный угол не задан – метод сразу сильно усложняется. Если оси были выбраны неудачно – их ведь можно выбрать по-разному – решение усложнится в разы. Также в задаче могут присутствовать условия на углы или модули конечных скоростей или перемещений. В этом случае может возникнуть система уравнений со множеством неизвестных.

Словом, не везде координатный метод хорош и удобен.
Второй метод решения подобных задач – с помощью треугольника скоростей. Он хорош, когда движение осуществляется по параболам, когда углы неизвестны, и когда даны соотношения между скоростями или перемещениями. Нерационален он только тогда, когда ученик не дружит с геометрией и не желает ее применять.

Третий способ решить задачу – с использованием свойств параболы. Тут необходимо иметь представление о том, что такое фокус и директриса параболы, владеть геометрическими знаниями и уметь их применять. Способ хорош, когда требуется исследовать только траекторию. Метод совсем не задействует время движения, так что задачи, где нужно отыскать время, надо решать по-другому.

Теорема 1. «О медиане в треугольнике скоростей».

Докажите, что средняя скорость при равноускоренном движении $\vec{\upsilon}=\frac{\vec{S}}{t}$ является медианой в треугольнике скоростей $\vec{\upsilon_k} =\vec{\upsilon_0} + gt$. Перемещение за время $t$ движения задаётся уравнением $\vec{S}=\vec{\upsilon_0}t+\frac{\vec{g}t^2}{2}$.

В соответствии с написанным можно изобразить треугольник перемещений:

Треугольник перемещений

Если треугольник перемещений разделить на время, получим треугольник скоростей:

Треугольники скоростей и перемещений

Вектор $\frac{S}{t}$ - не что иное, как средняя скорость, и этот вектор – медиана в треугольнике скоростей. Он будет медианой всегда.

Задача 1.

 Кот Леопольд сидел у края крыши. Два озорных мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Камень, описав дугу, упал у ног кота через время $t = 1$ с. На каком расстоянии $S$ от мышей находится кот Леопольд, если векторы скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны? (ВсОШ, финал, 1999)

К задаче 1

Решение. Треугольник скоростей прямоугольный, а в нем медиана равна половине гипотенузы.

К задаче про Леопольда

$$\frac{S}{t}=\frac{gt}{2}$$

$$S=\frac{gt^2}{2}=5$$

Ответ: 5 м

Задача 2.

 Из одной точки, расположенной достаточно высоко над поверхностью земли, одновременно вылетают два камня с горизонтальными противоположно направленными скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$. Через какое время $\tau$ скорости этих камней станут перпендикулярны?

Скорости камней в самом начале

Решение:

Строим треугольник скоростей для обоих камней.

Треугольники скоростей для обоих камней

Время $t_1=t_2=\tau$, конечные скорости перпендикулярны.

Треугольники скоростей

Построим прямоугольный треугольник, образованный векторами скоростей $\upsilon_{k1}$ и $\upsilon_{k2}$. В нем $g \tau$ - высота, а для высоты, проведенной к гипотенузе, можно записать, что ее квадрат равен произведению длин отрезков, на которые она разделила гипотенузу:

$$g\tau=\sqrt{\upsilon_1 \upsilon_2}$$

$$\tau=\frac{\sqrt{\upsilon_1 \upsilon_2}}{g}$$

Ответ: $\tau=\frac{\sqrt{\upsilon_1 \upsilon_2}}{g}$.

Задача 3.

 Тело брошено с высоты $Н$ под углом $\alpha$ к горизонтальной плоскости. К поверхности земли оно подлетает под углом $\beta$. Какое расстояние по горизонтали пролетит тело?

Решение.

Рисунок к задаче 3

Нарисуем треугольник скоростей, так как нам неизвестны начальная и конечная скорости. Можем также изобразить в нем треугольник перемещений.

Треугольник скоростей в задаче 3

Тогда в нем мы видим:

$$\frac{L}{t}\cdot \operatorname{tg}\alpha =\frac{gt}{2}-\frac{H}{t}$$

$$\frac{L}{t}\cdot \operatorname{tg}\beta =\frac{gt}{2}+\frac{H}{t}$$

Вычитаем из второго – первое.

$$\frac{L}{t}(\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha)=\frac{2H}{t}$$

$$L=\frac{2H}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha }$$

Ответ: $L=\frac{2H}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha }$.