Геометрический подход к баллистическим задачам-2

Статья является продолжением статьи «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики». Теория изложена в первой статье серии. Конспект занятий, проводимых Пенкиным М.А.

Задача 8.

Камень бросили со скоростью $\upsilon_0$ под углом $\alpha$  к горизонту.  Через какое время угол между вектором  скорости камня и горизонтом составит угол $\beta$? ($\beta<\alpha$).

Нарисуем треугольник скоростей для момента $t_1$.

Скорость в моменты времени $t_1$ и $t_2$  нам неизвестна, поэтому будем от нее избавляться. Применим теорему синусов.

$$\frac{gt_1}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\upsilon_0}{\sin(90^{\circ}-\beta)}$$

Откуда

$$t_1=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos{\beta}}$$

Теперь рассмотрим второй момент времени, когда скорость снова направлена под углом $\beta$ к горизонту - $t_2$. Рисунок изменится:

Снова применяем теорему синусов:

$$\frac{gt_2}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\upsilon_0}{\sin(90^{\circ}-\beta)}$$

Откуда

$$t_2=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha+\beta)}{g\cos{\beta}}$$

Ответ: $t_1=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos{\beta}}$,

$t_2=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha+\beta)}{g\cos{\beta}}$.

 

Задача 9.

Начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту, равна $\upsilon_0=10$ м/с, а спустя время $\tau=0,8$ c скорость камня стала равна $\upsilon=6$ м/с.  На какую максимальную высоту над уровнем бросания поднимется камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

Запишем максимальную высоту подъема:

$$h_m=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}$$

Из треугольника скоростей

$$\upsilon^2=\upsilon_0^2+(g\tau)^2-2\upsilon_0 g \tau\cdot \cos(90^{\circ}-\alpha)$$

$$\sin{\alpha}=\frac{\upsilon_0^2+(g\tau)^2-\upsilon^2}{2\upsilon_0 g \tau}$$

Теперь подставим полученный синус в выражение для максимальной высоты:

$$h_m=\frac{\upsilon_0^2}{2g }\cdot\frac{(\upsilon_0^2+(g\tau)^2-\upsilon^2)^2}{4\upsilon_0^2 g^2 \tau^2}$$

Это способ решения задачи «в лоб». Попробуем упростить решение. На мысль о том, что существует более простое решение, наталкивают числа, данные в задаче.

Рассмотрим треугольник скоростей.

Запишем теорему косинусов для него:

$$\upsilon_0^2=\upsilon^2+(g\tau)^2-2\upsilon g \tau\cdot \cos(90^{\circ}-\alpha)$$

Подставив числа, имеем:

$$10^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\sin{\beta}$$

Видим, что в левой части уравнения последнее слагаемое равно 0, следовательно, $\sin{\beta}=0$, $\beta=0$.

Тогда максимальная высота

$$\cos{\alpha}=\frac{\upsilon}{\upsilon_0}=0,6$$

$$\sin{\alpha}=0,8$$

$$h_m=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{100\cdot 0,64}{20}=3,2$$

Ответ: 3,2 м.

Задача 10.

Со скалы, возвышающейся над морем на высоту $h=15$ м, бросили камень со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с. Найти время полета камня, если известно, что непосредственно перед падением в воду его скорость была направлена под углом $120^{\circ}$ к направлению бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.

Скорость в момент приводнения не зависит от угла, под которым камень был брошен. Она зависит от начальной скорости и высоты бросания – из закона сохранения энергии. Тогда

$$2gh=\upsilon^2-\upsilon_0^2$$

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}=\sqrt{10^2+2\cdot10\cdot15}=20$$

Теперь рассматриваем треугольник скоростей и по теореме косинусов найдем время:

$$(gt)^2=\upsilon^2+\upsilon_0^2-2\upsilon \upsilon_0\cos \alpha$$

Откуда

$$t=\frac{1}{g}\sqrt{\upsilon^2+\upsilon_0^2-2\upsilon \upsilon_0\cos \alpha }=\frac{1}{10}\sqrt{20^2+10^2-2\cdot20 \cdot10\cos 120^{\circ}}=0,1\sqrt{500+400\cdot \frac{1}{2}}=2,6$$

Ответ: $t=2,6$ с.

Задача 11.

Камень бросают с высоты $h=4$ м вверх под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту так, что к поверхности земли он подлетает под углом  $\beta=60^{\circ}$. Какое расстояние по горизонтали пролетит камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

В этой задаче очень мало что известно. Поэтому кажется, что геометрический подход неприменим. Но здесь мы вспомним свойство, упомянутое в предыдущей статье: длина медианы треугольника скоростей равна $\frac{\vec{S}}{t}$.

А медиана в треугольнике делит противоположную сторону пополам, и для обеих половинок можно из рисунка записать:

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}+\frac{h}{t}=\upsilon \sin{\beta}-\frac{h}{t}$$

Определим время:

$$t=\frac{2h}{\upsilon \sin{\beta}-\upsilon_0 \sin{\alpha}}$$

Тогда

$$L=\upsilon_0 \cos{\alpha}t=\frac{2h\upsilon_0\cos{\alpha}}{\upsilon \sin{\beta}-\upsilon_0 \sin{\alpha}}=\frac{2h\cos{\alpha}}{\frac{\upsilon}{\upsilon_0}\sin{\beta}-\sin{\alpha}}$$

Также используем факт, что горизонтальная составляющая скорости неизменна:

$$\upsilon_0\cos{\alpha}=\upsilon \cos{\beta}$$

$$\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}$$

Тогда

$$ L=\frac{2h\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\operatorname{tg}{\beta}-\sin{\alpha}}=\frac{2h}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{8}{\sqrt{3}-1}=10,9$$

Ответ: $ L=10,9$ м.

Второй способ решения этой задачи – записать двумя разными способами площадь треугольника скоростей.

$$S=\frac{1}{2}\upsilon_0\upsilon\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}gt\upsilon_x$$

$$L=t\upsilon_x$$

$$L=\frac{\upsilon_0\upsilon\sin(\alpha+\beta)}{g}$$

Далее надо было бы решить систему:

$$\begin{Bmatrix}{\upsilon_0\cos{\alpha}=\upsilon \cos{\beta}}\\{\upsilon^2=\upsilon_0^2+2gh}\end{matrix}$$

Решение будет более длинным, но приведет к тому же ответу.

Задача 12.

С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень. Через время $\tau$ он падает на поверхность холма, причем со скоростью, перпендикулярной начальной. Чему равно расстояние между точками броска и приземления? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Из треугольника скоростей (который будет прямоугольным) видно, что медиана в этом случае является радиусом описанной окружности, поэтому

$$\frac{S}{t}=\frac{g\tau}{2}$$

$$S=\frac{g \tau^2}{2}$$

Ответ: $S=\frac{g \tau^2}{2}$.