Движение тела, брошеного под углом к горизонту

При решении задач с телом, брошенным под углом к горизонту, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело сначала взлетает, а потом падает, и движение в вертикальной плоскости является сначала равнозамедленным, а потом равноускоренным. Кроме того, помогает то, что в высшей точке полета вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1.

Два тела брошены под углом $\alpha$ и $90^{\circ}-\alpha}$ к горизонту с одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей полета тел и максимальных высот подъема.

Для первого тела максимальная высота подъема:

$$H_1=\frac{gt_1^2}{2}$$

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

$$\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_1=0$$

Время полета тела до апогея:

$$t_1=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$$

Тогда максимальная высота:

$$H_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$$

Аналогично для второго тела:

$$H_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2(90^{\circ}-\alpha)}{2g}$$

Таким образом, отношение высот подъема равно:

$$\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2(90^{\circ}-\alpha)}$$

$$\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=\operatorname{tg^2}{\alpha}$$

Теперь займемся дальностями полетов тел. Тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью в течение времени $2t_1$ и пролетит в итоге  $S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1$, где $\upsilon_x=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}$:

$$ S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}\cdot\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}{g}$$

Аналогично для второго тела:

$$ S_{x2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2(90-\alpha)}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}}{g}$$

Определим отношение длин полетов:

$$\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1$$

Ответ: $\frac{H_1}{H_2}=\operatorname{tg^2}{\alpha}$, $\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1$.

 

Задача 2.

Какой начальной скоростью $\upsilon_0$ должна обладать сигнальная ракета, выпущенная под углом $45^{\circ}$ к горизонту, чтобы она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения запала ракеты 6 с.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

$$\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0$$

Отсюда можно определить скорость:

$$\upsilon_0=\frac {gt}{\sin{\alpha}} =\frac{10\cdot6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=85$$

Ответ: 85 м/с

 

Задача 3.

Два тела брошены с земли под углами $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей $\left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\right)$, если тела упали на землю также в одной точке?

Время полета первого тела до верхней точки:

$$\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}-gt_1=0$$

$$t_1= \frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}$$

Полное время полета:

$$2t_1= \frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}$$

Вертикальная составляющая скорости тела:

$$\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}$$

Горизонтальная составляющая:

$$\upsilon_{x1}= \upsilon_1 \cos{\alpha}$$

Дальность полета тела:

$$S_{1x}=\upsilon_{x1}\cdot 2t_1=\upsilon_1 \cos{\alpha}\frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_1^2\sin{2\alpha}}{g}$$

Аналогично для второго тела:

Время полета второго тела до верхней точки:

$$\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}-gt_2=0$$

$$t_2= \frac{\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}$$

Полное время полета:

$$2t_2= \frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}$$

Вертикальная составляющая скорости тела:

$$\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}$$

Горизонтальная составляющая:

$$\upsilon_{x2}= \upsilon_2 \cos{\beta}$$

Дальность полета тела:

$$S_{2x}=\upsilon_{x2}\cdot 2t_2=\upsilon_2 \cos{\beta}\frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}=\frac{\upsilon_2^2 \sin{2\beta}}{g}$$

Возьмем отношение дальностей и приравняем к 1, так как тела шлепнулись в одном месте:

$$\frac{ S_{1x}}{ S_{2x}}=1$$

$$\frac{\frac{\upsilon_1^2 \sin{2\alpha}}{g}}{\frac{\upsilon_2^2 sin{2\beta}}{g}}=1$$

$$\frac{\upsilon_1^2 }{\upsilon_2^2}=\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}$$

$$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}}$$

Подставим числа:

$$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{90^{\circ}}}{ \sin{60^{\circ}}}}$$

$$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$$

$$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}=1,07$$

Ответ: $\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=1,07$.

Задача 4.

Мальчик бросает мяч со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с под углом в $45^{\circ}$ в сторону стены, стоя на расстоянии 4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Время полета мяча до верхней точки:

$$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=0$$

$$t= \frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}$$

Вертикальная составляющая скорости мяча:

$$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}$$

Горизонтальная составляющая:

$$\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}$$

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

$$S_x=\upsilon_x\cdot t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}=\frac{100}{20}=5$$

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Из рисунка видно, что, поскольку угол падения равен углу отражения, то траектория отскока мячика будет полностью повторять его траекторию полета без стенки, только в виде отражения:

Как мы выяснили ранее, мячику лететь до верхней точки траектории 5 м, значит, всего он пролетел бы 10 метров, но стенка помешала. Траектория оказалась разбита ею на два куска: 4 и 6 м, 4 до стенки, и 6 – после отскока. Таким образом, мальчику надо отступить на 2 метра, чтобы поймать мяч.

Ответ: отступить на 2 м, расстояние от стены  - 6 м.

 

Задача 5. Тело брошено со скоростью 20 м/с  под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в которых вектор скорости составляет с горизонтом угол $\beta=45^{\circ}$, если начало координат – точка бросания тела?

Горизонтальная составляющая скорости тела сохраняется постоянной на всем пути, она равна $\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}$. Скорость будет составлять угол в $45^{\circ}$ с горизонтом только тогда, когда вертикальная составляющая скорости будет равна горизонтальной составляющей по модулю, так как скорость может составлять с горизонтом как положительный, так и отрицательный угол – когда тело уже прошло верхнюю точку траектории и снижается. То есть подходящих нам точек траектории у тела 2: на взлете и при падении.

Тогда:

$$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=\upsilon \cos{\alpha}$$

Это произойдет в момент времени, равный:

$$t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}$$

Очевидно, что координата тела по оси $y$ не будет отличаться для обеих точек. Найдем ее:

$$y=S_y=\upsilon_y t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}-\frac{1}{g^2}\cdot\upsilon^2 (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2=$$

$$=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha})}{2g}-\frac{\upsilon^2(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2}{2g}=$$

$$=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\sin^2{\alpha}+2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}$$

Координату по оси $x$ первой точки (на взлете) найдем, подставив известное время в формулу движения с постоянной скоростью:

$$x_1=S_{x1}=\upsilon_x t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}$$

Координата второй точки по оси $x$ получится, если найденное только что расстояние вычесть из полного пути, пройденного  телом – ведь точки расположены на траектории симметрично. Полный путь тело пройдет за полное время движения, а оно равно удвоенному времени взлета:

$$2t_{vzl}= \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}$$

$$S=\upsilon_x 2t_{vzl}=\upsilon \cos{\alpha} \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}$$

Тогда искомая координата:

$$x_2=S- S_{x1}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}-\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}$$

$$ x_2=\frac{\upsilon^2(\sin{2\alpha}}-\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}$$

Теперь давайте все это посчитаем:

$$y=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{400\cdot\frac{1}{2}}{20}=10$$

$$x_1=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}-1)=10\cdot0,73=7,3$$

$$ x_2=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}+1)=10\cdot2,73=27,3$$

Ответ: $y_1=y_2=10$ м, $x_1=7,3$ м, $x_2=27,3$ м.

 

Задача 6.

С вершины горы бросают камень под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту.  Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии 20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту также $\beta=30^{\circ}$.

Удобно ввести систему координат так, чтобы ось $x$ совпадала со склоном горы, а ось $y$ была бы направлена перпендикулярно склону. Тогда, в такой системе координат, тело будет двигаться с ускорением как по оси $x$, так и по оси $y$. Начальная скорость тела будет направлена под углом $\alpha+\beta$ к склону, и ее можно разложить на составляющие:

$$\upsilon_{0x}= \upsilon_0 \cos(\alpha+\beta )$$

$$\upsilon_{0y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )$$

Таким же образом разложим и ускорение свободного падения:

$$g_x= g \cos(\alpha+\beta )$$

$$g_y=g \sin(\alpha+\beta )$$

Когда тело доберется до верхней точки траектории, его вертикальная составляющая скорости обратится в ноль:

$$\upsilon_{y}= \upsilon_{0y}-g_yt=0$$

$$\upsilon_{y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )- g \sin(\alpha+\beta )t=0$$

Откуда найдем время полета до верхней точки:

$$t=\frac{\upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )}{ g \sin(\alpha+\beta )}$$

$$t=\frac{\upsilon_0}{g}$$

Полное время полета – вдвое больше:

$$t_p=2t=\frac{2\upsilon_0}{g}$$

За полное время тело, двигаясь равноускоренно, пролетит вдоль оси $x$ расстояние:

$$l=\upsilon_{0x}t_p+\frac{g_xt_p^2}{2}$$

$$l=\upsilon_0 \cos(\alpha+\beta)}\frac{2\upsilon_0}{g}+\frac{ g \cos(\alpha+\beta)}\cdot4\upsilon_0^2}{2g^2}=\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}+\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}$$

По условию $l=20$, поэтому

$$\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=20$$

$$\frac{4\upsilon_0^2\cos{60^{\circ}}}{10}=20$$

$$\upsilon_0^2=100$$

$$\upsilon_0=10$$

Ответ: $\upsilon_0=10$ м/с

 

Задача 7.

Из пушки выпустили последовательно 2 снаряда со скоростью $\upsilon_0=250$ м/с: первый - под углом $\alpha_1=60^{\circ}$ к горизонту, второй – под углом $\alpha_2=45^{\circ}$ (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Чтобы снаряды столкнулись в воздухе, а произойти это может только на второй половине траектории при заданных углах, нужно, чтобы были равны координаты снарядов по оси $x$ и по  оси $y$.

Раскладываем скорости по осям:

$$\upsilon_{1x}= \upsilon_0 \cos{\alpha}$$

$$\upsilon_{1y}= \upsilon_0 \sin{\alpha}$$

$$\upsilon_{2x}= \upsilon_0 \cos{\beta }$$

$$\upsilon_{2y}= \upsilon_0 \sin{\beta }$$

Из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости получаем половинку времени полета первого снаряда:

$$\upsilon_{1v}= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_1=0$$

$$t_1=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Полное время полета первого снаряда:

$$2t_1=\frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Полное время полета второго снаряда:

$$2t_2=\frac{2\upsilon_0\sin{\beta}}{g}$$

Снаряды будут лететь по оси $x$ с постоянной скоростью, и пролетят

Первый:

$$S_{x1}=\upsilon_{1x} 2t_1$$

Второй:

$$S_{x2}=\upsilon_{2x} 2t_2$$

Так как их координаты равны, то приравняем:

$$ S_{x1}= S_{x2}$$

$$\upsilon_{1x} 2t_1=\upsilon_{2x} 2t_2$$

$$\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1=\upsilon_0 \cos{\beta }t_2$$

Откуда получаем соотношение:

$$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}$$

$$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{2}$$

По оси $y$ первый снаряд пролетит:

$$ S_{y1}=\upsilon_{1y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}$$

Второй снаряд пролетит:

$$ S_{y2}=\upsilon_{2y}t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

Приравняем:

$$ S_{y1}= S_{y2}$$

$$\upsilon_{1y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_{2y}t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta}t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

Заменим $t_1$ на $\sqrt{2}t_2$:

$$\upsilon_0 \sin{\alpha}\sqrt{2}t_2-gt_2^2=\upsilon_0 \sin{\beta}t_2-\frac{gt_2^2}{2}$$

$$\upsilon_0 t_2(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})=\frac{gt_2^2}{2}$$

Сокращаем:

$$\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})=\frac{gt_2}{2}$$

Получим время $t_2$:

$$t_2=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}$$

Отсюда время $t_1$:

$$t_1=\frac{2\sqrt{2}\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}$$

И разность времен:

$$t_1-t_2=(\sqrt{2}-1) \frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}$$

$$t_1-t_2=(0,41) \frac{2\cdot250(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})}{g}=10,56$$

Ответ: 10,56 с