Движение под углом к горизонту: несколько хороших задач

Задача 1.

Из одной и той же точки с поверхности земли брошены два камня. Первый упал на землю на расстоянии $L$, второй − на расстоянии $3L$. Под каким углом (в градусах) к горизонту был брошен первый камень, если второй брошен под углом $30^{\circ}$, а высоты подъема у них одинаковы?

Решение. Высота полета может быть вычислена как

$$H=\frac{gt^2}{2}$$

Из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости найдем время полета до наивысшей точки подъема:

$$\upsilon_0\sin \alpha-gt=0$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{g}$$

$$t^2=\frac{\upsilon_0^2\sin^2 \alpha }{g^2}$$

$$H=\frac{g}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2\sin^2 \alpha }{g^2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2 \alpha }{2g}$$

Это выражение можно записать как для первого тела -

$$ H=\frac{\upsilon_1^2\sin^2 \alpha }{2g}$$

Так и для второго

$$ H=\frac{\upsilon_2^2\sin^2 \beta }{2g}$$

Из равенства высот следует

$$\upsilon_1^2\sin^2 \alpha=\upsilon_2^2\sin^2 \beta$$

$$\upsilon_1\sin \alpha=\upsilon_2\sin \beta$$

Теперь с дальностью разберемся.

$$L=\upsilon_1\cos \alpha\cdot 2t_1=\upsilon_1\cos \alpha\cdot \frac{2\upsilon_1\sin \alpha }{g}=\frac{\upsilon_1^2\sin 2\alpha }{g}$$

Аналогично для второго тела:

$$3L=\upsilon_2\cos \beta\cdot 2t_2=\upsilon_2\cos \beta\cdot \frac{2\upsilon_2\sin \beta }{g}=\frac{\upsilon_2^2\sin 2\beta }{g}$$

Тогда в последнее равенство подставим $L$:

$$\frac{3\upsilon_1^2\sin 2\alpha }{g}=\frac{\upsilon_2^2\sin 2\beta }{g}$$

Или

$$3\upsilon_1^2\sin 2\alpha=\upsilon_2^2\sin 2\beta$$

$$3\left(\frac{\upsilon_2\sin \beta }{\sin \alpha }\right)^2\sin 2\alpha=\upsilon_2^2\sin 2\beta$$

$$3\frac{\sin^2 \beta }{\sin^2 \alpha }\sin 2\alpha=\sin 2\beta$$

$$3\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }\cos \alpha=\cos \beta$$

$$3\operatorname{tg}\beta=\operatorname{ctg}\alpha$$

$$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $\alpha=60^{\circ}$

Задача 2.

С какой скоростью должны вылететь мина из миномета в момент старта ракеты, вылетающей вертикально вверх с ускорением $3g$ без начальной скорости, чтобы поразить эту ракету? Расстояние от миномета до места старта ракеты 250 м, мина вылетает под углом $45^{\circ}$ к горизонту.

Решение. Высоты ракеты и мины должны быть равны.

$$\upsilon_0\sin 45^{\circ} t-\frac{gt^2}{2}=\frac{3gt^2}{2}$$

$$\upsilon_0\sin 45^{\circ} t=2gt^2$$

$$\upsilon_0\sin 45^{\circ}=2gt$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin 45^{\circ}}{2g}$$

Теперь дальность полета мины. Она равна

$$L=250=\upsilon_0\cos 45^{\circ}\cdot t=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha}{4g}$$

$$\upsilon_0^2 \sin 90^{\circ}=4g\cdot 250$$

$$\upsilon=\sqrt{10000}=100$$

Ответ: 100 м/с.

Задача 3.

Из некоторой точки на склоне горы бросают вверх по склону тело с начальной скоростью 21 м/с под углом $60^{\circ}$ к горизонту. На каком расстоянии от точки бросания упадет тело, если угол наклона горы $30^{\circ}$?

Решение. Ось $x$ направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $y$ - перпендикулярно плоскости. Скорость тела направлена под углом $60^{\circ}$ к плоскости, кроме того, по обеим осям будут действовать составляющие ускорения свободного падения: по оси $x$ - $g\sin\alpha$, по оси $y$ - $g\cos \alpha$, где $\alpha=30^{\circ}$ - угол наклона скорости к плоскости. По равенству нулю вертикальной составляющей скорости найдем время полета (вернее, его половину).

$$\upsilon_0\sin \alpha-g\cos \alpha t=0$$

$$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha }{ g\cos \alpha}$$

Теперь вычислим дальность полета:

$$L=\upsilon_0\cos \alpha \cdot 2t-\frac{g\sin \alpha (2t)^2}{2}=\upsilon_0\cos \alpha \cdot \frac{2\upsilon_0\operatorname {tg}\alpha }{ g} -\frac{g\sin \alpha}{2}\cdot \frac{4\upsilon^2\operatorname {tg}^2\alpha}{g^2}$$

$$L=\frac{2\upsilon_0^2\operatorname {tg}\alpha \cos \alpha }{ g}-\frac{2\upsilon^2\operatorname {tg}^2\alpha \sin \alpha}{g}$$

$$L=\frac{2\cdot 21^2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 10}-\frac{21^2\cdot\frac{2}{3}\cdot 0,5}{10}=44,1-44,1\cdot\frac{1}{3}=44,1\cdot \frac{2}{3}=29,4$$

Ответ: около 30 м.

Задача 4.

На горе с углом наклона к горизонту $30^{\circ}$ бросают мяч с начальной скоростью 6 м/с перпендикулярно склону горы. На каком расстоянии (в см) от точки бросания вдоль наклонной плоскости упадет мяч?

Решение. Решаем аналогично предыдущей задаче. Таким же образом вводим оси. По обеим осям будут действовать составляющие ускорения свободного падения: по оси $x$ - $g\sin\alpha$, по оси $y$ - $g\cos \alpha$, где $\alpha=30^{\circ}$ - угол наклона плоскости к горизонту.

Так как скорость не имеет составляющей по оси $x$, а координату места броска примем за ноль, то

$$x(t)=x_0+\upsilon_0\cos 90^{\circ}+\frac{g\sin 30^{\circ} t^2}{2}=\frac{g\sin 30^{\circ} t^2}{2}$$

А координата $y$ при падении тела равна нулю.

$$y(t)=\upsilon_0 t-\frac{g\cos 30^{\circ} t^2}{2}=0$$

$$\upsilon_0=\frac{g\cos 30^{\circ} t}{2}$$

$$t=\frac{2\upsilon_0}{ g\cos 30^{\circ}}$$

$$x(t)=\frac{g\sin 30^{\circ}}{2}\cdot\frac{4\upsilon_0^2}{g^2\cos^2 30^{\circ}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cdot 36}{10\cdot\frac{3}{4}}=4,8$$

Ответ: 480 см.