Две задачи на движение под углом к горизонту

Решим пару задач на движение тела под углом к горизонту. Как вы помните, при таком движении складываются движение по горизонтали с постоянной скоростью и движение по вертикали, всегда равноускоренное.

Задача 1.

Деревянный шар, скатываясь с лестницы, имел горизонтальную начальную скорость  $\upsilon_0=3$ м/с. Высота и ширина каждой ступени равны по $l=0,3$ м.  О какую по счету ступеньку шар ударится впервые? Принять $g=10$ м/с$^2$.

Так как высота и ширина ступеней одинаковы, то очевидно, шар должен пролететь одно и то же расстояние по горизонтали и вертикали.

По горизонтали это

$$S=\upsilon_0\cdot t$$

По вертикали

$$h=\frac{gt^2}{2}$$

Приравняв, получим:

$$\upsilon_0\cdot t=\frac{gt^2}{2}$$

Откуда

$$t=\frac{2\upsilon_0}{g}=0,6$$

Следовательно,

$$S=\upsilon_0\cdot t=Nl, N \in Z$$

$$S=3\cdot 0,6=N\cdot 0,3, N \in Z$$

Следовательно, $N=6$.

Ответ: о шестую.

Задача 2.

С высоты $h=30$ м свободно падает стальной шарик. Через 2 с с начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. На какую высоту $h$ от поверхности земли поднимется шарик после удара? Удар шарика о плиту считать абсолютно упругим.

Рисунок

Искомое расстояние - $x$.

$$x=H-L+h$$

Шарик падал две секунды, поэтому

$$L=\frac{gt^2}{2}$$

Высота отскока равна

$$h=\upsilon_0\sin{\alpha}t_1-\frac{gt_1^2}{2}$$

Где $t_1$ - время полета шарика от момента отскока до подъема на максимальную высоту. Так как на этой максимальной высоте вертикальная составляющая скорости равна 0, то

$$0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt_1$$

Откуда

$$t_1=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$$

Подставим в выражение для $h$:

$$h=\upsilon_0\sin{\alpha}\cdot \frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}-\frac{g}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{g^2}=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}$$

Пришло время подумать о том, с какой скоростью отскочил шарик. Из закона сохранения энергии (или из кинематики, это кому как удобно) находим

$$2gL=\upsilon_0^2$$

Тогда

$$h=L\sin^2{\alpha}$$

$$x=H-\frac{gt^2}{2}+ L\sin^2{\alpha}= H-\frac{gt^2}{2}+ \frac{gt^2}{2}\sin^2{\alpha}=H-\frac{gt^2}{2}(1-\sin^2{\alpha})=30-\frac{10\cdot4}{2}(1-0,5^2)=30-15=15$$

Ответ: 15 м.