Задача про катушку

В этой задаче придется применить не только знание темы "равноускоренное движение", но и тему "движение по окружности", а также вспомнить, что такое мгновенный центр вращения.

Задача. На цилиндрическую часть катушки радиусом $r=10$ см, лежащей на столе, намотана легкая нерастяжимая нить, отрезок $AB$ которой горизонтален.  В момент времени $t=0$ точку нити $A$ начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением $a=4$ см/с$^2$. При этом катушка начинает двигаться без проскальзывания так, что ее ось не изменяет своей ориентации. Через какое время $t$ длина горизонтального участка нити изменится в $n=2$ раза, если длина отрезка $AB$ была равна $L_0=1$ м, а внешний радиус катушки равен $R=20$ см?

Задача о катушке

Во-первых, надо отметить, что катушка будет катиться вправо, так как мгновенный центр вращения находится в точке $K$. Следовательно, вращение будет происходить по часовой стрелке, и нить будет наматываться на катушку, следовательно, укорачиваться. Длина окружности внутреннего радиуса катушки равна $l=2 \pi r=6,28 \cdot 10=62,8$ см, откуда следует вывод, что полный оборот катушка сделать не успеет. Катушка сделает $\frac{L_0}{n \cdot 2 \pi r}$ оборота. Так как центр вращения находится в точке $K$, то ускорение точки $O$ относится к ускорению точки $B$, как $R:r$:

$$\frac{a_O}{a_B}=\frac{R}{r}$$

$$a_O=\frac{R \cdot a_B }{r}$$

Если катушка сделает $\frac{L_0}{ n \cdot 2 \pi r}$ оборотов, то точка $O$ пройдет расстояние $S=\frac{L_0}{ n \cdot 2 \pi r}\cdot 2 \pi R=\frac{L_0R}{nr}$.

Теперь  мы знаем путь, пройденный точкой $O$ и ее ускорение, можем определить время:

$$S=\frac{a_Ot^2}{2}$$

$$t=\sqrt{\frac{2S}{a_O}}=\sqrt{\frac{2L_0R}{nr}\cdot \frac{r}{R a_B}}=\sqrt{\frac{2L_0}{n a_B}}=\sqrt{\frac{200}{8}}=\sqrt{25}=5$$

Везде расстояния были подставлены в сантиметрах, ускорение также дано в  см/с$^2$, следовательно, ответ получен в секундах.

Кстати, если поразмыслить, то ответ можно было бы получить совсем просто: используя путь точки $B$ - длину намотавшейся нити - и ее ускорение, поскольку все ускорения пропорциональны и пути точек тоже вследствие постоянного  отношения радиусов.

Ответ: 5 с.