Задача о вращающемся цилиндре

Несложная хорошая задача, правда, предполагает знание момента инерции цилиндра.

Задача. Однородный полый цилиндр радиуса $R$ раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega_0$ и поместили затем в угол. Коэффициент трения между стенками угла и цилиндра равен $\mu$. Через какое время цилиндр остановится?

Решение:

На цилиндр действует пять сил: сила тяжести, две силы реакции опоры  и  две силы трения.

Цилиндр в углу

Линии действия силы тяжести и сил реакции опоры проходят через ось вращения, поэтому момент этих сил относительно этой оси равен нулю. Следовательно, угловое ускорение цилиндра обусловлено моментами сил трения.

В проекции на горизонтальную ось:

$$N_1-F_{tr2}=0$$

На вертикальную:

$$N_2+F_{tr1}-mg=0$$

По определению

$$ F_{tr1}=\mu N_1$$

$$ F_{tr2}=\mu N_2$$

Из первого

$$N_1= F_{tr2}=\mu N_2$$

Из второго

$$N_2+\muN_1=mg$$

$$N_2+\mu^2N_2=mg$$

$$N_2=\frac{mg}{1+\mu^2}$$

$$ F_{tr2}=\frac{\mu}{1+\mu^2}\cdot mg$$

$$ F_{tr1}=mg-\frac{mg}{1+\mu^2}=mg\left(1-\frac{1}{1+\mu^2}\right)=\frac{mg\mu^2}{1+\mu^2}$$

Уравнение вращательного движения цилиндра запишется следующим образом:

$$J\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=-R(F_{tr1}+ F_{tr2})$$

$$J=MR^2$$

$$mR^2\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=-R(F_{tr1}+ F_{tr2})$$

Минус показывает, что цилиндр тормозит и скорость его уменьшается.

$$mR\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=-\frac{mg\mu^2}{1+\mu^2}-\frac{\mu}{1+\mu^2}\cdot mg $$

$$\Delta \omega=-\frac{g(\mu^2+\mu)}{1+\mu^2}\Delta t$$

$$\Delta \omega=0-\omega$$

$$\Delta t=\omega_0\frac{1+\mu^2}{ g(\mu^2+\mu)}$$

Ответ: $\Delta t=\omega_0\frac{1+\mu^2}{ g(\mu^2+\mu)}$.