Задача о движении точки по окружности

Рассмотрим интересную задачу, в которой  ускорение остается по модулю постоянным, но меняет свое направление. Конспект занятия Пенкина М.А.

Задача. Точка движется по окружности так, что модуль ее ускорения остается постоянным. Начальная скорость точки равна нулю. Какую часть окружности пройдет точка к моменту достижения максимальной скорости?

Решение.

Угловая скорость равна

$$\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}=\frac{\upsilon}{R}$$

$$\omega= \varphi’=\frac{d  \varphi }{dt}$$

$$\vec{a}=\frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t }$$

Вектор ускорения направлен туда же, куда и вектор $\Delta {\upsilon}$, вглубь траектории.

$$a=\vec{\upsilon’}=\frac{d\vec{\upsilon}}{dt }$$

Разложим ускорение на два компонента, касательное $a_{\tau}$ и нормальное $a_n$. Тангенциальное направлено по скорости, если она растет, и против, если она снижается.

При $\upsilon_{max}$ $a_{\tau}=0$ (производная скорости равна нулю).

$$a_{\tau}=\upsilon’=\frac{d\upsilon}{dt}$$

$$\vec{a}=\vec{a_n}+\vec{ a_{\tau}}$$

Вначале движения скорости еще нет, но производная скорости не нулевая ($a_{\tau}\neq 0$).

$$\vec{a}=\vec{a_{\tau}}$$

Направление ускорения – по касательной к окружности. В конце движения ускорение максимально, $\vec{a}=\vec{a_n}$. Ускорение по направлению совпадает с нормальным. То есть вектор ускорения поворачивается на $90^{\circ}$ - $\alpha_0=0; \alpha_k=90^{\circ}$.

$$ a_{\tau}=a\cos \alpha=\frac{d \upsilon}{dt}$$

$$a_n=a\sin \alpha=\frac{\upsilon^2}{R}$$

Если равны функции, то равны и их производные.

$$(a\sin \alpha)’=\left(\frac{\upsilon^2}{R}\right)’$$

$$a \cos \alpha \cdot \frac{d\alpha}{dt}=\frac{1}{R}\cdot 2\upsilon \cdot \frac{d\upsilon}{dt}$$

$$\frac{d\alpha}{dt}=\frac{\upsilon }{R}\cdot 2 $$

$$\frac{d\alpha}{dt}=2\frac{d\varphi}{dt}$$

$$ d\alpha=2d\varphi$$

Если это суммировать, получим

$$\alpha=2\varphi$$

Угол $\alpha$ у нас изменялся от 0 до $\frac{\pi}{2}$. Поэтому угол

$$\varphi=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$$

Такой угол – это $\frac{1}{8}$ часть окружности. Поэтому ответ – 0,125.

Ответ: 0,125.