Взаимодействие заряженных частиц

Задача 1.

Два одинаковых шарика, имеющие одинаковые одноименные заряды, соединены пружиной, жесткость которой $k=20$ Н/м, а длина $l_0=4$ см. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от $l_1=3$ см до $l_2=6$ см. Чему равны заряды шариков?

Решение. Энергия системы при максимальном сближении шариков равна

$$W_1=\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 l_1}+\frac{k(l_1-l_0)^2}{2}$$

При максимальном расстоянии между шариками энергия системы та же, только перераспределена:

$$W_2=\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 l_2}+\frac{k(l_2-l_0)^2}{2}$$

$$W_1=W_2$$

$$\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 l_1}+\frac{k(l_1-l_0)^2}{2}=\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 l_2}+\frac{k(l_2-l_0)^2}{2}$$

$$\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{l_1}-\frac{1}{l_2}\right)=\frac{k(l_2-l_0)^2}{2}-\frac{k(l_1-l_0)^2}{2}$$

$$\frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0}\left(\frac{l_2-l_1}{l_1l_2}\right)=\frac{kl_2^2-kl_1^2-2k l_0(l_2-l_1)}{2}$$

$$q=\sqrt{\frac{2\pi \varepsilon_0l_1l_2(kl_2^2-kl_1^2-2k l_0(l_2-l_1))}{l_2-l_1}}=\sqrt{2\pi \varepsilon_0l_1l_2k(l_2+l_1-2kl_0)}=1,4\cdot10^{-7}$$

Ответ: $q=1,4\cdot10^{-7}$ Кл.

Задача 2.

Небольшой шарик с зарядом $-Q=-10$ мкКл закреплён неподвижно в вакууме. Два одинаковых маленьких шарика с зарядами $+Q=+10$ мкКл и массами $m=3$ г вращаются вокруг него по одной окружности радиуса $R=25$ см. Найдите величину скорости каждого из шариков. Ответ выразите в м/с, округлив до целого числа. Силой тяжести пренебрегите.

Запишем второй закон Ньютона:

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=\frac{kQ^2}{R^2}-\frac{kQ^2}{4R^2}$$

$$ m\upsilon^2=\frac{3kQ^2}{4R}$$

Отсюда:

$$\upsilon^2=\frac{kQ^2}{mR}=\frac{3\cdot 9\cdot 10^9\cdot 100\cdot 10^{-12}}{4\cdot 0,003\cdot 0,25}=900$$

Ответ: $\upsilon=30$ м/с