Движение по окружности, олимпиадная подготовка. 9 класс.

В этой статье представлены задачи на движение по кругу. Задачи предназначены для подготовки к олимпиадам по физике для ребят 9 класса.

Задача 1.

Направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением ее вращения вокруг Солнца. Каким было бы число дней в году $N_2$, если бы Земля вращалась вокруг Солнца в противоположном направлении? Ответ дать в сутках, округлив до целых. Считать, что сейчас год длится ровно $N_1=365$ дней.

Решение.

Пусть центр Земли вращается с периодом $T$ вокруг Солнца $(T=1$ год). Рассмотрим точку $A$ на экваторе Земли, которая в свою очередь вращается вокруг земной оси с угловой скоростью $\omega$. Назовем земными сутками интервал времени между двумя последовательными положениями Солнца, например, в зените.

Если направления вращения не совпадают, то за сутки точке $A$ надо совершить поворот на угол, меньший, чем $2\pi$. Угол, на который сместилась Земля относительно Солнца, будет равен $\frac{2\pi}{N_2}$. В этом случае длительность суток будет

$$\frac{T}{N_2}=\frac{2\pi-\frac{2\pi}{N_2}}{\omega}.$$

Аналогично в случае вращения в ту же сторону точке $A$ надо будет совершать за сутки (другой длительности, более длинные) полный оборот на $2\pi$ и небольшой дополнительный поворот на угол, на который сместилась Земля относительно Солнца В этом случае длительность суток будет $\frac{2\pi}{N_1}.$

$$\frac{T}{N_1}=\frac{2\pi+\frac{2\pi}{N_1}}{\omega}.$$

Если разделить одно уравнение на другое, получим

$$\frac{N_2}{N_1}=\frac{2\pi+\frac{2\pi}{N_1}}{2\pi-\frac{2\pi}{N_2}}$$

$$2\pi N_2-2\pi=2\pi N_1+2\pi$$

$N_2-N_1=2$, то есть число дней в «длинном» году станет 367.

Ответ: 367 суток.

Задача 2.

Скорость точки $A$ вращающегося диска равна $\upsilon_1=50$ см/с, а скорость точки $B$, находящейся на $L=10$ см ближе к оси диска, равна $\upsilon _2=40$ см/с. Определите период вращения диска. Ответ дать в секундах. Округлить до сотых.

Решение.

Обозначим расстояние от оси до точки $B$ за $x$. Тогда можно записать линейные скорости точек через угловую скорость и радиусы:

$$\upsilon _1=\omega(L+x)$$

и

$$\upsilon _2=\omega x$$

Вычитая, получим $\omega L=\upsilon _1-\upsilon _2$. Подставив период $T=\frac{2\pi}{\omega}$, получаем

$$T=\frac{2\pi L}{ \upsilon _1-\upsilon _2}=6,28 c.$$

Ответ: 6,28 с.

Задача 3.

Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной $l=0,5$ м, в вертикальной плоскости с частотой $\nu=3$ Гц. На какую высоту взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент, когда скорость была направлена вертикально вверх? Ответ дать в метрах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^{2}$.

Решение.

Скорость камня в момент отрыва найдем по формуле

$$V_0=\frac{2\pi \cdot l}{T}=2\pi \cdot l\cdot \nu$$

Высоту подъема тела определим из выражения

$$H=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{-2g}$$

Учитывая, что в верхней точке подъема камня $\upsilon =0$ получаем

$$H=\frac{\upsilon_0^2}{2g}=\frac{2\pi^2\cdot \nu^2\cdot l^2}{g}\approx 4,4.$$

Ответ: 4,4 м.

Задача 4.

Вентилятор вращается с частотой $\upsilon_0=900$ об/мин. После выключения вращение происходит равнозамедленно, причём вентилятор делает до остановки $N=75$ оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки? Ответ дать в секундах, округлив до целых.

Решение.

Найдем среднюю частоту вращения. С одной стороны,

$$\upsilon_{cp}=\frac{N}{t}.$$

Но с другой ($\upsilon_1$ - начальная скорость, $\upsilon_2$ - конечная скорость)

$$\upsilon_{cp}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\frac{\upsilon_0}{2},$$

так как движение равнозамедленное, а частота линейно связана с угловой скоростью. Приравнивая уравнения и выражая $t$, получим, что

$$t=\frac{2N}{\upsilon_0}=10 $$

Ответ: 10 с.

Задача 5.

Три самолета выполняют разворот в горизонтальной плоскости» двигаясь равномерно по концентрическим окружностям на расстоянии $s=60$ м друг от друга. Ближайший к центру виража самолет движется по окружности $R=600$ м. Средний самолет движется со скоростью $\upsilon=343$ км/ч. Найти ускорение самолета, летящего по внешней траектории. Ответ дать в м/c$^2$, округлив до целых.

Решение.

Угловая скорость среднего самолета равна

$$\omega=\frac{\upsilon^2}{R+s}.$$

Но угловая скорость всех самолетов одинакова, так как они движутся по концентрическим окружностям на одинаковых расстояниях друг от друга. Ускорение внешнего самолета можно найти через угловую скорость и радиус его траектории

$$a=\omega^2(R+2s)=\frac{\upsilon^2(R+2s)}{(R+s)^2}=15.$$

Ответ: 15 м/c$^2$.