Движение по кругу. Готовимся к олимпиадам, 10 класс

В предлагаемых задачах тела движутся одновременно: одно прямолинейно, другое - по кругу. Все задачи - комбинированные.

Задача 1.

Маленький шарик влетает со скоростью $\upsilon=30$ см/с в малое отверстие в стенке полого цилиндра, вращающегося вокруг своей оси. Радиус $R=15,7$ см цилиндра много больше толщины его стенок. Скорость шарика перпендикулярна оси цилиндра. Какой должна быть минимальная угловая скорость вращения цилиндра $\omega$ для того, чтобы шарик вылетел наружу, не испытав соударений? Ответ выразите в рад/с, округлив до целых. Силу тяжести не учитывайте.

К задаче 1

Решение.

Чтобы шарик мог  вылететь из цилиндра, нyжно, чтобы к моменту, когда он пролетит расстояние $2R$, отверстие цилиндра оказалось бы в той же точке, что и шарик. Таким образом, угол, на который должен повернуться цилиндр, равен $\varphi=\pi+2\pi\cdot n,$ где $n$ — произвольное натуральное число.

Время, за которое шарик пройдёт расстояние $2R$, равно $t=\frac{2R}{\upsilon}.$ Поэтому угловая скорость вращения цилиндра должна быть равна

$$\omega=\frac{\varphi}{t}=\frac{\pi+2\pi\cdot n}{\frac{2R}{\upsilon}}=\frac{(2n+1)\cdot\pi\cdot\upsilon}{2R}.$$

Таким образом, минимальная угловая скорость вращения цилиндра, при которой шарик может беспрепятственно из него вылететь, равна

$$\omega_{min}=\frac{\pi\cdot\upsilon}{2R}=3.$$

Ответ: 3 рад/с.

Задача 2.

Кузьма бежал по кругу с постоянной скоростью. В точке $A$ он встретил Матвея, который бежал с постоянным ускорением по диаметру $AB.$ Скорость Матвея в момент встречи была равна скорости Кузьмы. Кузьма, не изменяя скорости, пробежал полкруга и встретился с Матвеем в точке $B,$ куда тот как раз успел добежать. Определите отношение модуля ускорения Кузьмы к модулю ускорения Матвея. Ответ округлить до десятых.

К задаче 2

Решение.

Пусть скорость Кузьмы (синяя стрелка) $\upsilon,$ ускорение Матвея $a,$ радиус окружности $R,$ время между встречами $t.$ Кузьма преодолел расстояние

$$\upsilon\cdot t=\pi\cdot R,$$

а Матвей

$$\upsilon\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}=2R.$$

Исключая время, получим

$$\pi\cdot R+\frac{a\cdot\pi^2\cdot R^2}{2\upsilon^2}=2R,$$

откуда ускорение Матвея равно

$$a=\frac{2(2-\pi)\cdot\upsilon^2}{\pi^2\cdot R}<0,$$

то есть Матвей двигался равнозамедленно.

При этом ускорение Кузьмы (нормальное) равно $\frac{\upsilon^2}{R}.$ Тогда искомое отношение есть

$$\frac{\pi^2}{2(2-\pi)}\approx4,3.$$

Ответ: 4,3.

Задача 3.

Школьник Василий посмотрел на электронной карте координаты своего дома и выяснил, что они равны $45^\circ$ с.ш. и $37^\circ$ в.д. После этого он задался вопросом: с какой скоростью движется его дом относительно земной оси? Ответ выразить в м/с. округлив до целых. Считать, что радиус Земли равен $R=6400$ км, а один оборот вокруг своей оси она совершает за $T=24$ ч. $\pi\approx3,14.$

Решение.

Дом Василия движется по окружности радиуса $r=R\cdot\cos\alpha,$ где $\alpha=45^\circ$ — широта местности.

К задаче 3

Угловая скорость вращения Земли

$$\omega=\frac{2\pi}{T}.$$

Скорость дома относительно земной оси равна

$$\upsilon=\omega\cdot r=\frac{2\pi}{T}R\cdot\cos\alpha=329.$$

Ответ: 329 м/с.

Задача 4.

Стартуя из точки $A,$ спортсмен движется равноускоренно до точки $B,$ после которой модуль скорости спортсмена остается постоянным вплоть до точки $C.$

К задаче 4

Во сколько раз время, затраченное спортсменом на участок $BC$ больше, чем на участок $AB,$ если модуль ускорения на обоих участках одинаков? Траектория $BC$ — полуокружность. Ответ округлить до целых.

Решение.

Начальная скорость $\upsilon_0$ спортсмена равна 0, поэтому в точке $B$ спортсмен будет иметь скорость $\upsilon=a\cdot t_1,$ которая будет постоянна по величине вплоть до точки $C.$ В этом соотношении $a$ — его ускорение, $t_1$ — время движения из точки $A$ в точку $B.$

Поскольку участок $BC$ представляет собой полуокружность, то на ее преодоление спортсмен затратит время $t_2=\frac{1}{2}T,$ где $T$ — период обращения.

При движении по окружности $\upsilon=\omega\cdot R,$ где $\omega=\frac{2\pi}{T}$ — угловая скорость. Выходит, что $T=\frac{2\pi R}{\upsilon},$ следовательно, $t_2=\frac{\pi R}{\upsilon}.$\

При движении по окружности с постоянной скоростью ускорение $a$ становится центростремительным, то есть $a=\frac{\upsilon^2}{R},$ откуда $\frac{R}{\upsilon}=\frac{\upsilon}{a},$ следовательно, $t_2=\frac{\pi\upsilon}{a}.$

Итак, $t_1=\frac{\upsilon}{a}$ и $t_2=\frac{\pi\upsilon}{a},$ откуда $\frac{t_2}{t_1}=\pi\approx 3.$

Ответ: 3.

Задача 5.

Тело брошено со скоростью $\upsilon=10$ м/с под углом $\alpha=45^\circ$ к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли. Ответы выразить в метрах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным $9,8$ м/с$^{2}.$

Решение.

Радиус кривизны траектории есть отношение квадрата скорости тела к нормальному ускорению тела.

Найдём нормальные ускорения в начальный момент и в наивысшей точке. Они равны $a_1=g\cdot\cos\alpha,\; a_2=g.$

Скорости тела в интересующие нас моменты $\upsilon_1=\upsilon$ (так как горизонтальная составляющая не меняется) и $\upsilon_2=\upsilon\cdot\cos\alpha.$

Таким образом радиусы кривизны составят

$$R_1=\frac{\upsilon^2}{g\cdot\cos\alpha}=14,4.$$

и

$$R_2=\frac{\upsilon^2\cdot\cos^2\alpha}{g}=5,1.$$

Ответ: 14,4 м и 5,1 м.