Две задачи Всесибирской олимпиады по физике

Вот две задачи Всесибирской олимпиады. Они на разные темы, и попали в одну статью только благодаря единому их источнику. Очень рекомендую вам указанную олимпиаду. Есть архив заданий, по которым можно готовится к ней и другим олимпиадам. Автор решений обеих задач - Евгения Калинникова.

Задача 1.

Три нити равной длины $R$ связаны в одной точке $O$. На концах нитей – одноименные заряды $8Q, Q$ и $q$. Каковы расстояния между этими зарядами в равновесии, если заряд $q$ пренебрежимо мал по сравнению с $Q$? Система находится на горизонтальной плоскости без трения.

Решение. Так как заряд $q$ очень маленький, то заряды $8Q$ и $Q$ будут друг от друга отталкиваться. Они расположатся на диаметре окружности радиуса $R$. Заряд $q$ тоже будет лежать на этой же окружности, причем расстояния от него до зарядов $Q$ и $8Q$ будут катетами прямоугольного треугольника, так как на диаметр обязан опираться именно прямой угол.

К задаче 1

Тогда тангенс угла $\alpha$ может быть найден, с одной стороны, как

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{b}$$

А с другой стороны, из треугольника сил:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{F_1}{F_2}$$

Где

$$F_1=\frac{kqQ}{a^2}$$

$$F_2=\frac{8kqQ}{b^2}$$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{kqQ}{a^2}}{\frac{8kqQ}{b^2}}=\frac{b^2}{8a^2}$$

Тогда, приравнивая значения тангенсов, имеем:

$$\frac{a}{b}=\frac{b^2}{8a^2}$$
Иначе говоря,

$$\frac{b^3}{a^3}=8$$

$$\frac{b}{a}=2$$

Но по теореме Пифагора

$$a^2+b^2=4R^2$$

Или

$$5a^2=R^2$$

$$a=\frac{R}{\sqrt{5}}$$

$$b=\frac{2R}{\sqrt{5}}$$

Ответ: $a=\frac{R}{\sqrt{5}}$, $b=\frac{2R}{\sqrt{5}}$.

Задача 2.

На конец горизонтальной спицы надето небольшое кольцо, коэффициент трения его со спицей $\mu$. Спицу начинают вращать в горизонтальной плоскости, так что скорость конца с кольцом растет пропорционально времени по закону $\upsilon=\alpha t$, $\alpha$ известно. На какой угол повернется спица к моменту срыва с нее кольца? Ускорение свободного падения $g$.

К задаче 2

На кольцо будут действовать силы: тяжести, трения, сила реакции опоры со стороны стержня (возникающая в ответ на силу тяжести) и сила реакции со стороны стержня, возникающая из-за неравномерного движения по окружности. Эта последняя лежит в плоскости вращения и направлена от нас за плоскость чертежа. Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ N_1=mg }\\{ N_2=ma_{\tau}}\\{ F_{tr}=ma_n}\\{F_{tr}=\mu N}\\{N=\sqrt{N_1^2+N_2^2}}\end{matrix}$$

$ F_{tr}=\mu N $ - справедливо на момент начала скольжения.

Так как $\upsilon=\alpha t$, то тангенциальное ускорение $ a_{\tau}=\alpha$.

Тогда для момента начала движения

$$\mu\sqrt{m^2g^2+m^2\alpha^2}=\frac{m\upsilon^2}{R}$$

Откуда

$$\upsilon^2=\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}$$

Теперь обратимся к углу:

$$S=\frac{\upsilon^2}{2\alpha}=\varphi R$$

$$\varphi=\frac{\upsilon^2}{2R\alpha}=\frac{\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}}{2R\alpha}$$

Ответ: $\varphi=\frac{\mu\sqrt{g^2+\alpha^2}}{2R\alpha}$