Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. Задачи 38-41

Задача 38.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9) В схеме, показанной на рисунке, используются проградуированный реостат, амперметр с очень малым внутренним сопротивлением и практически идеальный источник с ЭДС 24 В. Изменяя сопротивление реостата, фиксируем показания амперметра: при $R_a = 30$ Ом сила тока $I_a = 0,4$ А, а при $R_b = 60$ Ом она равна $I_b = 0,24$ А. Найдите сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$.

Рисунок к задаче 38

Решение. Найдем общее сопротивление:

$$R_0=R_1+\frac{R_2R_x}{R_2+R_x}$$

Ток в неразветвленной части цепи:

$$I_0=\frac{E}{R_0}$$

Ток же через амперметр

$$I_A=\frac{ER_2}{R_0(R_2+R_x)}$$

Подставим первое значение тока:

$$0,4=\frac{24R_2}{( R_1+\frac{30R_2}{R_2+30})(R_2+30)}$$

$$0,4=\frac{24R_2}{R_1(30+R_2)+30R_2}$$

Подставим второе значение тока:

$$0,24=\frac{24R_2}{R_1(60+R_2)+60R_2}~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Найдем отношение:

$$\frac{0,4}{0,24}=\frac{ R_1(60+R_2)+60R_2}{ R_1(30+R_2)+30R_2}$$

$$\frac{5}{3}=\frac{60(R_1+R_2)+R_1R_2}{30(R_1+R_2)+R_1R_2}$$

Отсюда получим:

$$2R_1R_2=30(R_1+R_2)$$

Или

$$R_2=\frac{15R_1}{R_1-15}~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Преобразовываем (1):

$$0,01=\frac{R_2}{R_1(60+R_2)+60R_2}$$

$$R_2=0,01R_1(60+R_2)+0,6R_2$$

$$0,01R_1(60+R_2)=0,4R_2$$

Или

$$0,1R_1(60+R_2)=4R_2$$

Подставляем (2):

$$R_1\left(60+\frac{15R_1}{R_1-15}\right)=40\cdot \frac{15R_1}{R_1-15}$$

$$60R_1(R_1-15)+15R_1^2-40\cdot 15R_1=0$$

$$1500R_1=75R_1^2$$

Наконец, $R_1=20$ Ом, $R_2=\frac{15\cdot 20}{20-15}=60$ Ом.

Ответ: $R_1 = 20$ Ом; $R_2 =60$ Ом

Задача 39.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2014, 7–9) На внешних клеммах цепи, схема которой показана на рисунке, поддерживается постоянное напряжение $U = 48$ В. Сопротивления всех резисторов в схеме одинаковы и равны $R = 10$ Ом, сопротивления всех ламп в схеме также можно считать одинаковыми и равными $R_1 \approx 3R = 30$ Ом. К цепи подключены амперметр и вольтметр, которые можно считать практически идеальными (то есть присутствие амперметра практически не влияет на силу тока в его участке цепи, а присутствие вольтметра практически не влияет на напряжение между точками, к которым он подключен), сопротивления соединительных проводов пренебрежимо малы. Найти показания приборов.

Рисунок к задаче 39

Решение. Так как приборы идеальны, уберем пока вольтметр (через него ток не течет все одно),  и представим схему в таком виде:

Схема замещения с токораспределением

Тогда понятно токораспределение. И, главное, понятно общее сопротивление:

$$R_0=\frac{3R\cdot 3R}{6R}+\frac{R\cdot 9R}{10R}=2,4R=24$$

Тогда ток $I$:

$$I=\frac{U}{R_0}=\frac{48}{24}=2$$

Через амперметр протекает $0,4I$ - это 0,8 А.

Теперь вернемся к вольтметру. Вольтметр покажет такое напряжение:

$$U_V=0,5I\cdot 2R+0,9I R-0,1IR_1=1,6IR=16\cdot 2=32$$

Ответ: $I_A =0,8$ А; $U_V =32$ В.

Задача 40.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 7–9) Ученик подключил к аккумулятору два резистора с сопротивлениями $R_1 = 40$ Ом и $R_2 = 60$ Ом, амперметр и три одинаковых вольтметра по схеме, показанной на рисунке. Амперметр и вольтметры не идеальны — в частности, внутренние сопротивления вольтметров равны $R_V = 0,5$ МОм. Амперметр показывает ток $I =0,6$ А. Каковы показания вольтметров? Цена деления шкалы у вольтметров $\Delta V = 0,1$ В.

Рисунок к задаче 40

Решение. так как сопротивления вольтметров по полмиллиона Ом, то в сравнении с сопротивлениями резисторов на вольтметры ответвляется очень малый ток, и можно примерно считать, что весь ток, показываемый амперметром, идет через резисторы. Тогда

$$U=I(R_1+R_2)=60$$

Или, иначе,

$$U_1+U_3=60$$

Напряжения в схеме

По второму закону Кирхгофа

$$U_1-U_2=U_{R_1}$$

$$U_2+U_3=U_{R_2}$$

И, кстати,

$$\frac{ U_{R_2}}{ U_{R_1}}=\frac{R_2}{R_1}=1,5$$

Тогда

$$U_1-U_2=24$$

$$U_2+U_3=36$$

Если произвести вычитание последних двух, то получим:

$$U_3+U_2-U_1+U_2=12$$

$$U_3+2U_2-U_1=12~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

Но токи в вольтметрах малые, поэтому по первому закону Кирхгофа

$$I_1+I_2=I_3$$

Индекс у тока совпадает с индексом вольтметра.

Это же можно переписать так:

$$I_1R_v+I_2R_v=I_3R_v$$

Или

$$U_1+U_2=U_3$$

Подставим это в (3):

$$3U_2=12$$

$$U_2=4$$

Тогда $U_1=28$ В, $U_3=32$ В.

Ответ: $U_1=28$ В, $U_2=4$ В, $U_3=32$ В.

Задача 41.

(«Росатом», 2017, 10) Имеется три одинаковых идеальных (с нулевым внутренним сопротивлением) источника напряжения $E$ и четыре одинаковых вольтметра. Приборы соединили в цепь проводами, сопротивлением которых можно пренебречь, так, как это показано на рисунке. Найти показания всех вольтметров.

Рисунок к задаче 41

Решение. Используем метод узловых потенциалов. Выберем точку нулевого потенциала:

Выбираем точку с нулевым потенциалом

Тогда можно определить потенциалы еще нескольких точек:

Потенциалы в схеме

Запишем систему уравнений:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} U_1+U_3=3E \\ U_2+U_4 =2E \end{matrix}$$

Но $U_3=U_4$! То есть $U_1-U_2=E$!

По первому закону Кирхгофа для точки с потенциалом $\varphi$ имеем:

$$\frac{3E-\varphi}{R_V}+\frac{2E-\varphi}{R_V}=2\frac{\varphi}{R_V}$$

$$3E-\varphi+2E-\varphi=2\varphi$$

$$5E=4\varphi$$

$$\varphi=\frac{5E}{4}$$

Или

$$U_3=U_4=\frac{5E}{4}$$

Тогда

$$U_1=3E-U_3=3E-\frac{5E}{4}=1,75E$$

$$U_2=2E-U_4=2E-\frac{5E}{4}=0,75E$$

Ответ: $U_3=U_4=\frac{5E}{4}$, $U_1=1,75E $, $U_2=0,75E$.