Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. Задачи 34-37

Задача 34.

(МОШ, 2014, 9) Два одинаковых вольтметра соединили параллельно, третий вольтметр подключили к этой комбинации последовательно, и к концам получившейся цепи присоединили идеальную батарейку. При этом вольтметры показывают 4 В, 4 В и 5 В. Какое напряжение у батарейки? Могут ли быть одинаковыми все три вольтметра? Что покажут эти же приборы, если их все соединить последовательно и подключить к той же батарейке? Показания приборов считайте точными.

Решение. На соединенных параллельно вольтметрах по 4 В, токи пропорциональны напряжениям. Так как через последний вольтметр течет удвоенный ток, а напряжение не пропорционально 8 В, то вольтметры неодинаковы. Сопротивление двух параллельно соединенных вольтметров:

$$0,5R_{V1}=\frac{4}{I}$$

Сопротивление последнего вольтметра:

$$R_{V2}=\frac{5}{I}$$

Напряжение батарейки 9 В (сумма напряжений на вольтметрах). Поэтому, если соединяем вольтметры последовательно, ток через них одинаков и напряжения будут относиться как $8:8:5$, то есть вольтметры покажут 3,43 В, 3,43 В и 2,14 В.

Ответ: $U =9$ В; не одинаковые;  вольтметры покажут 3,43 В, 3,43 В и 2,14 В.

Задача 35.

(МОШ, 2016, 9–10) Вася нашел в ящике своего папы-физика четыре резистора сопротивлением 1 Ом каждый, один резистор сопротивлением 4 Ом, амперметр, батарейку с напряжением $U = 4,5$ В и провода. С использованием этих элементов Вася собрал цепь, схема которой изображена на рисунке (такая схема называется мостовой). Какой из резисторов нужно отключить Васе для того, чтобы показания амперметра изменились сильнее всего? Вася знает расположение резистора с сопротивлением 4 Ом, но пока вы не расскажете, что ему надо делать, он Вам не покажет, где располагается этот резистор. Рассмотрите два случая: А) если резистор сопротивлением 4 Ом включен в диагональ моста (то есть между точками 2 и 3); и Б) если этот резистор включен НЕ в диагональ моста. Для каждого случая дайте ответ на вопрос задачи. Для первого случая дополнительно рассчитайте, чему равно изменение показаний амперметра. Батарейку можно считать идеальным источником напряжения, амперметр также считайте идеальным.

Рисунок к задаче 35

Решение. А) Резистор 4 Ом расположен в диагонали моста. Токи в резисторах 1 Ом одинаковы. Полное сопротивление схемы – 1 Ом. Ток, показываемый амперметром, $I_0=4,5$ А. Отключаем резистор 1 Ом (любой). Резистор 4 Ом окажется включенным последовательно с 1 Ом. Полное сопротивление –

$$R_0=1+\frac{4+1}{4+1+1}=\frac{11}{6}$$

Определяем ток через амперметр:

$$I_1=\frac{U}{R_0}=2,45$$

$$\Delta I=I_0-I_1=4,5-2,45=2,05$$

Б) Ставим резистор 4 Ом не в диагональ моста. 

Поставили резистор 4 Ом не в диагональ моста

Чтобы определить сопротивление, пересчитаем треугольник в звезду:

Пересчитали треугольник в звезду

Полное сопротивление примерно равно 2 Ом. Ток через амперметр в этом случае

$$I_2=\frac{U}{R_2}=\frac{4,5}{2}=2,25$$

Отключаем резистор 1 Ом. Особенно в схеме, где треугольник уже заменен на звезду, видно, что, чтобы наибольшим образом изменить сопротивление, нужно отключить  резистор 1 Ом (подключенный к тому же полюсу, что и резистор 4 Ом. Полное сопротивление получится равным 0,61 Ом. Ток через амперметр будет равен

$$I_3=\frac{U}{R_3}=\frac{4,5}{0,61}=7,37$$

Изменение тока получится

$$\Delta I=I_3-I_2=5,13$$

Ответ: А) Любой резистор 1 Ом, $\Delta I = 2$ А; Б) Резистор 1 Ом, подключённый к тому же полюсу, что и 4 Ом, $\Delta I=5,1$ А.  

Задача 36.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 7–9) В схеме, показанной на рисунке, оба реостата одинаковы: их максимальное сопротивление $R_m = 36$ Ом, длина $L = 24$ см. Положение движков тоже одинаково: они поставлены в $x = 8$ см от крайних левых положений. Найти ток в ветви с источником, напряжение на которой $U = 20$ В.

Рисунок к задаче 36

Решение. Такое положение движков реостатов делит их сопротивления на 12 и 24 Ома соответственно. Можно перерисовать схему и станет видно, что все эти сопротивления (12 Ом, 12 Ом, 24 Ом, 24 Ом) соединены параллельно.

Сопротивления в схеме и их соединение

Полное сопротивление схемы в этом случае равно 4 Ом. Ток в неразветвленной части цепи

$$I=\frac{U}{R_0}=5$$

Ответ: 5 А

Задача 37.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9) В схеме, показанной на рисунке, используются проградуированный реостат, амперметр с очень малым внутренним сопротивлением и практически идеальный источник с ЭДС 24 В. Изменяя сопротивление реостата, фиксируем показания амперметра: при $R_a = 10$ Ом сила тока $I_a = 1,6$ А, а при $R_b = 40$ Ом она равна $I_b = 1,2$ А. Найдите сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$.

Рисунок к задаче 37

Решение. Первый случай:

$$\frac{(R_{x1}+R_1)R_2}{R_1+R_2+R_{x1}}=\frac{E}{I_a}$$

Второй случай:

$$\frac{(R_{x2}+R_1)R_2}{R_1+R_2+R_{x2}}=\frac{E}{I_b}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} (R_{x1}+R_1)R_2=\frac{E}{I_a}( R_1+R_2+R_{x1})\\ (R_{x2}+R_1)R_2=\frac{E}{I_b}( R_1+R_2+R_{x2})\end{matrix} $$

Удобнее, конечно, подставить известные данные:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} (10+R_1)R_2=\frac{24}{1,6}( R_1+R_2+10)\\ (40+R_1)R_2=\frac{24}{1,2}( R_1+R_2+40)\end{matrix} $$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} (10+R_1)R_2=15R_1+15R_2+150)\\ (40+R_1)R_2=20R_1+20R_2+800)\end{matrix} $$

Поделим:

$$\frac{(10+R_1)R_2}{(40+R_1)R_2-600}=\frac{3}{4}$$

$$(4R_1+40)R_2=(3R_1+120)R_2-1800$$

$$R_1R_2-80R_2=-1800$$

$$R_2=\frac{1800}{80-R_1}$$

Вернемся к первому случаю:

$$\frac{(R_{x1}+R_1)R_2}{R_1+R_2+R_{x1}}=\frac{E}{I_a}$$

$$\frac{(10+R_1)R_2}{R_1+R_2+10}=15$$

$$\frac{(10+R_1) \frac{1800}{80-R_1}}{R_1+\frac{1800}{80-R_1}+10}=15$$

После упрощений получаем:

$$R_1^2+50R_1-1400=0$$

$$R_1=20$$

Тогда

$$R_2=30$$

Ответ: $R_1=20$, $R_2=30$.