Использование законов Кирхгофа в решении задач

Задача 1.

Сопротивления вольтметров в схеме, показанной на рисунке, много больше сопротивлений резисторов, $R=10$ Ом; напряжение на входе $U_{AB}=4,5$ В. Определите показания всех вольтметров.

Рисунок к задаче 1

Решение. Так как сопротивления у вольтметров много больше, чем у резисторов, то ток через них идти должен, пусть и маленький. Если этот ток совсем маленький, то ответвление такого тока через вольтметр практически не изменит падения напряжения на последующих резисторах. Поскольку резисторы все одинаковые, то и падения напряжений на них одинаковые – по 1,5 В. Ток через вольтметр 3 – сумма токов через вольтметры 1 и 2, а они симметричны, вследствие чего падения напряжения на них одинаковы. Поэтому падение напряжения на вольтметре 3 в 2 раза больше, чем на первом и втором. При продвижении от точки А к точке В (любым путем) мы должны в итоге набрать 4,5 В по падениям напряжений.

Из этих соображений ответ:  показания первого и второго вольтметров – по 0,5 В, а третьего – 1 В.

Задача 2.

Из трех одинаковых ламп и двух одинаковых электронагревателей собрали цепь (нагреватели изображены как резисторы). Известно, что мощности тока в нагревателях отличаются в 16 раз, а сопротивление нагревателя меньше сопротивления лампочки. Как относятся мощности тока в лампах Л1, Л2 и Л3? Зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

Рисунок к задаче 2

Решение. Расставим токи. Ток в нагревателе Н1 течет вниз, так как сопротивление лампы больше, чем сопротивление нагревателя. Известно, что мощности тока в нагревателях отличаются в 16 раз – значит, токи отличаются вчетверо.

Расставили токи

По первому закону Кирхгофа

$$I_{3}+i_{1}=i_{2}$$

$$ I_{3}+i_{1}=4i_{1}$$

$$ I_{3}=3i_{1}$$

Перерисуем с учетом выявленных соотношений:

Соотношения между токами в нагревателях 1 и 2 и лампе 3

По второму закону Кирхгофа

$$I_1R+i_1r=3i_1R$$

$$I_2R=i_1r+i_2r$$

$$I_2R=i_1r+4i_1r=5i_1r$$

$$I_2=I_1-i_1$$

Тогда

$$(I_2+i_1)R+i_1r=3i_1R$$

$$5i_1r+i_1r=2i_1R$$

$$6r=2R$$

$$i_2=\frac{5}{3}i_1$$

$$I_1=\frac{8}{3}i_1$$

 В лампе Л1 течет ток $I_1$, в лампе Л2 - ток $I_2$, а в третьей - ток $I_3=3i_1$. Величины мощностей пропорциональны квадратам токов, поэтому будут относиться как

$$I_1^2: I_2^2: I_3^2=\frac{64}{9}:\frac{25}{9}:\frac{81}{9}=64:25:81$$

Ответ: $64:25:81$