Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. задачи 54-58

Решаем задачи олимпиад из документа 

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 54.

(МОШ, 2006, 10) К идеальной батарейке с ЭДС $U_0 =1,3$ В подключена мостовая электрическая цепь, собранная из трёх одинаковых вольтметров и двух одинаковых миллиамперметров, причём один из миллиамперметров включён в диагональ мостика. Известно, что показания миллиамперметров отличаются в 3 раза. Каким может быть отношение сопротивлений вольтметра и миллиамперметра? Считая, что сопротивление вольтметра больше сопротивления миллиамперметра, определите показания каждого из вольтметров.

Рисунок к задаче 54

Решение. Расставим токи там, где можем. Получилась такая картина:

Попытка найти токораспределение

Записываем второго Кирхгофа для обоих контуров – правого и левого:

$$Rx=4Ir$$

$$2IR=Ir+(I+x)R$$

Преобразуем второе:

$$2IR=Ir+IR+xR$$

$$IR=Ir+xR~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Подставляем вместо $Ir$ - $\frac{Rx}{4}$:

$$IR=\frac{Rx}{4}+Rx=\frac{5Rx}{4}$$

При подставновке $Rx=4Ir$ получим

$$IR=5Ir$$

Откуда

$$\frac{R}{r}=5$$

Из (1)

$$IR=0,2IR+xR$$

Имеем

$$x=0,8I$$

Пройдем по верхнему пути от входа до выхода:

$$2IR+3I\cdot 0,2R=1,3$$

$$2,6IR=1,3$$

Откуда $IR=0,5$ В, а $2IR=1$ В (показания левого верхнего), тогда $xR=0,8IR$, или $xR=0,4$ В (показания правого нижнего).

Показания левого нижнего вольтметра

$$U=(I+x)\cdot R=1,8IR=1,8\cdot 0,5=0,9$$

Ответ: $\frac{R}{r}=5$; 0,4 В (правый нижний), 1 В (левый верхний) и 0,9 В (левый нижний).

Задача 55.

(МОШ, 2007, 10) Изображённая на рисунке электрическая цепь состоит из двух соединённых друг с другом «чёрных ящиков», каждый из которых имеет три вывода. При подключении к клеммам A и C омметр показывает значение сопротивления $R_{AC}$, при подключении к клеммам B и D — значение $R_{BD}$, при подключении к клеммам A и D — значение $R_{AD}$. Что покажет омметр при подключении к клеммам B и C? Известно, что в «чёрных ящиках» находятся только различным образом соединённые резисторы.

Рисунок к задаче 55

Решение. Надо просто «пройти» от точки $B$ к точке $C$, складывая последовательно соединенные сопротивления:

$$R_{BC}=R_{BD}+R_{DA}+R_{AC}= R_{BD}-R_{AD}+R_{AC}$$

Ответ: $R_{BC}= R_{BD}-R_{AD}+R_{AC}$ (Понятно, что сопротивление не может быть отрицательным, поэтому сумма $ R_{BD}+ R_{AC}$ должна быть не меньше вычитаемого $ R_{AD}$.

Задача 56.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 10–11) В схеме, изображённой на рисунке, все резисторы одинаковы и их сопротивление $R = 100$ Ом. Все источники тоже одинаковы, их ЭДС $E = 16$ В, а их внутренние сопротивления пренебрежимо малы. Амперметр и вольтметр для данной схемы являются практически идеальными. Найти их показания.

Рисунок к задаче 56

Решение. Перерисовываем схему удобнее:

Так же куда лучше, верно? Источники я обозначила, хоть они и одинаковые, по-разному, чтобы применить метод узловых потенциалов. Стала расставлять потенциалы и поняла, что источник $\varepsilon_3$ и сопротивление в этой же ветке – вообще не при делах! Этот источник погонит весь свой ток через перемычку – амперметр, и для всей остальной цепи этого источника словно нет.

А теперь метод наложения:

Метод наложения

Убираем все лишнее: вольтметр – разрыв цепи, амперметр – перемычка, и в каждой схеме оставляем только один источник, чтобы увидеть, какие части токов созданы каждым из них. И оказывается, что схемы-то идентичны. То есть в ветке с самым левым сопротивлением оба источника (а они одинаковы) создают один и тот же ток, только в разных направлениях. То есть, иными словами, в левой ветке ток - ноль, и показания вольтметра нулевые.  

Определим показания амперметра. Для этого еще раз преобразуем схему, убрав из нее те резисторы, через которые ток не течет:

Определяем показания амперметра

Если тут опять применить метод наложения, то ток через амперметр (правую перемычку) будет такой суммой:

$$I_A=\frac{\varepsilon_3}{R}+\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R}=\frac{2\varepsilon}{R}=\frac{32}{100}=0,32$$

Ответ: $U_V=0$, $I_A=0,32$ А

 

Задача 57.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11) 50 аккумуляторов с одинаковыми ЭДС $E$ и внутренними сопротивлениями $r$ соединены последовательно в замкнутую цепь. Вольтметр подключён к участку, содержащему 20 аккумуляторов. Каковы его показания? Ответ объяснить.

Решение. Вся ЭДС одного аккумулятора будет падать на его внутреннем сопротивлении. Ведь по второму закону Кирхгофа «сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС», поэтому вольтметр, подключенный к любому числу аккумуляторов, покажет ноль вольт. Вся суть в том, что цепь замкнута))

Ответ: 0 В.

Задача 58.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11) В «Чёрном Ящике» находится схема, составленная из резисторов и источников постоянного тока. У «ЧЯ» есть шесть выводов. К двум парам выводов подключены амперметры, а к двум оставшимся — ветвь, содержащая ключ и реостат. При разомкнутом ключе показания амперметра $А_1$ равны 1 А, а амперметра $А_2$ — 5 А. После замыкания ключа $А_1$ стал показывать силу тока 2 А, а А2 — силу тока 4 А. Движок реостата передвинули. После этого показания А2 стали равны 2,4 А. Какой ток при этом течет через А1?

Задача с черным ящиком

Решение.  Так как в первом случае ток протекает и амперметры что-то показывают – значит, внутри черного ящика есть источник питания. И: поскольку ток амперметра $A_2$ в пять раз больше, то откуда-то еще надо взять 4 А. Предположим, параллельно ветви с амперметром $A_1$ есть ветвь с сопротивлением $R=\frac{r}{4}$ и потому ток в ней 4 А (в 4 раза больше, чем показывает $A_1$). После появления реостата в цепи токи в указанных двух ветвях должны стать равными – потому что один из них 2 А (показывает первый амперметр), а второй амперметр показывает 4 А – добавляется еще 2 А. Таким образом, понятно, что реостат не может быть включен последовательно с $A_2$, он должен появляться в ветви с $R$, чтобы изменить ее сопротивление и тем самым ток в ветви с $A_1$.

Более наглядные представления трез ситуаций

Попытка заглянуть внутрь черного ящика

Из второго рисунка заключаем, что $R_1=0,75r$ - таким образом, появление реостата делает сопротивления параллельных ветвей равными, а токи в них одинаковыми. Тогда (что из первого рисунка, что из второго) следует, что

$$E=r\cdot 1+r\cdot 5=r\cdot 2+r\cdot 4=6r$$

Значит, если первый амперметр после перемещения движка реостата стал показывать $2,4$ А, то второй должен показать 3,6 A:

$$E= r\cdot 2,4+r\cdot 3,6=6r$$

Можно также отметить, что в последнем случае сопротивление реостата $R_2=1,75r$ - это легко определяется, так как ток в ветви с реостатом 1,2 А  - вдвое меньше, чем в параллельной с амперметром $A_1$.

Ответ: 3,6 А