Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. Задачи 51-53

Решаем задачи олимпиад из документа 

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 51.

(Всеросс., 2019, МЭ, 11) Электрическая цепь состоит из резистора с сопротивлением $R$ и четырёх одинаковых амперметров с внутренними сопротивлениями $r$. Показания амперметров $A_1$ и $A_2$ равны $I_1 = 3$ А и $I_2 = 5$ А. Найдите отношение сопротивлений $\frac{R}{r}$.

Рисунок к задаче 51

Решение. Пусть ток через амперметр $A_3$ равен $x$ А.

Показания амперметров

Тогда для левого контура второй закон Кирхгофа запишется как

$$5\cdot r=3\cdot r+x\cdot r$$

Откуда $x=2$ А. А второй закон Кирхгофа для правого контура будет выглядеть так:

$$x\cdot r+(5+x)\cdot r=(3-x)\cdot R$$

Или

$$2r+7r=R$$

$$\frac{R}{r} =9$$

Ответ: 9.

 

Задача 52.

(МОШ, 2015, 11) Школьник Станислав проводит опыты с электрической цепью, состоящей из трёх одинаковых резисторов и батарейки. Подключив вольтметр к клеммам A и B, Станислав записал показания прибора $U_{AB} = 4$ В. Станислав был уверен, что показание вольтметра при подключении к клеммам A и C составит 8 В, а при подключении к клеммам A и D будет равно 12 В. Действительно, одно из показаний прибора совпало с предсказаниями Станислава: $U_{AD} = 12$ В. Однако второе показание оказалось неожиданным: $U_{AC} = 7$ В. Как мог рассуждать Станислав? Почему одно из показаний прибора было предсказано неправильно? Какую информацию о характеристиках приборов можно получить на основе проведённых измерений? Считайте, что сила тока через вольтметр пропорциональна напряжению на нём.

Рисунок к задаче 52

Сделаем более подробный рисунок – люблю наглядность, часто глаза решают вперед мозга)))

Более подробные рисунки к каждой ситуации

Решение. Тот факт, что показание $U_{AC} = 7$, говорит сразу же о наличии конечного сопротивления вольтметра. Прибор не идеален, когда его включают так, как показано на рисунке, через него ответвляется некоторый ток, и это влияет на показания.

Расставляем токи там, где можем

Пусть ток через сопротивление вольтметра в первом случае равен $I$. Заметим, что, совершенно очевидно, в третьем случае это $3I$ - ведь вольтметр показывает напряжение на собственном сопротивлении и эти показания втрое больше, чем в первом случае. Сразу же следует вывод из рисунков 1 и 3: $R_V=R$. Если так, то падения напряжений на двух оставшихся сопротивлениях в первом случае равны 8 В – потому что через них течет $2I$.  То есть в первой схеме напряжение на зажимах $A$ и $D$ - 20 В. А в третьей схеме – 12 В. То есть ЭДС также не идеальна и имеет сопротивление, падение напряжения на котором отлично в разных схемах.

ЭДС - не идеальна, добавляем ее сопротивление в схемы

Тогда для первого и третьего случаев закон Кирхгофа:

$$\left(\frac{R_vR}{R_v+R}+2R+r\right) I_1=U_0$$

$$\left(\frac{R_v\cdot 3R}{R_v+3R}+r\right) I_2=U_0$$

Учтем, что $I_1=2I$, $I_2=4I$, $R_V=R$.

$$\left(\frac{R}{2}+2R+r\right) 2I=U_0$$

$$\left(\frac{3R}{4}+r\right) 4I=U_0$$

Поделим друг на друга два эти уравнения:

$$\frac{2,5R+r}{2(0,75R+r)}=1$$

Или

$$2,5R+r=1,5R+2r$$

$$R=r$$

Таким образом, на внутреннем сопротивлении батареи в первой схеме падает также 8 В и ЭДС тогда $U_0=28$ В.

Ответ: итак, ошибка была связана с предположением об идеальности приборов. $U_0=28$ В, $R_V=R=r$.

 

 

Задача 53.

(МОШ, 2018, 10) В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, сопротивления постоянных резисторов не известны, а сопротивление переменного резистора может изменяться в широком диапазоне — от нуля до значений, значительно превосходящих сопротивления других резисторов. Батарейка идеальная. Между контактами A и B сначала подключают идеальный вольтметр, который не только измеряет напряжение (напряжение холостого хода), но и показывает его полярность. Затем вольтметр отключают и подключают вместо него идеальный амперметр, измеряющий силу тока (ток короткого замыкания) и показывающий его направление. Такие же измерения проводят при разных значениях сопротивления переменного резистора — от очень маленьких до очень больших. В результате измерений обнаружилось, что значения напряжений холостого хода лежат в интервале от $−2$ В до $+4$ В, а значения тока короткого замыкания от $−30$ мА до $+15$ мА. При этом отрицательным токам соответствуют отрицательные напряжения, а положительным — положительные. Определите по этим данным сопротивления $r$ и $R$ резисторов и напряжение $U_0$ батарейки.

Рисунок к задаче 53

Решение. Пусть сопротивление реостата мало, заменим его тогда перемычкой:

 

Малое сопротивление реостата и амперметр

В этом случае, если между клеммами $AB$ амперметр, то есть тоже перемычка, ток через $r$ не потечет. То есть сопротивление цепи равно $0,5R$.

Если сопротивление реостата  очень велико, его можно заменить разрывом цепи.

Большое сопротивление реостата и амперметр

В этом случае полное сопротивление $\frac{R}{2}+r$ -а это больше, чем в первом случае. То есть в первом случае амперметр покажет $30$ мА, а во втором - $15$ мА. Еще заметим, что во втором случае ток протекает снизу верх через амперметр, и это $+15$ мА, а в первом случае он протекал сверху вниз – это $-30$ мА. Тогда в первом случае токи через оба резистора $R$ равны 30 мА, а ток через перемычку, которой заменен реостат – 60 мА (ток в неразветвленной части цепи). То есть

$$\frac{R}{2}\cdot 0,06=U_0$$

Во втором случае

$$R\cdot 0,015+r\cdot 0,03=U_0~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Напоминаю, батарейка идеальна, то есть внутреннее сопротивление нулевое. Тогда, приравнивая левые части, имеем:

$$\frac{R}{2}\cdot 0,06= R\cdot 0,015+r\cdot 0,03$$

$$0,03R-0,015R=0,03r$$

$$R=2r$$

Теперь подключаем к клеммам $AB$ вольтметр – поскольку он идеален, это разрыв цепи.

Малое сопротивление реостата и вольтметр

Переменное сопротивление при этом очень мало и заменено перемычкой. Имеем две параллельно включенные ветви: сопротивление верхней $1,5R$, нижней - $R$. Тогда в верхней ветке ток $I$, а в нижней - $1,5I$. И можно записать с учетом показаний вольтметра, что

$$IR+2=U_0$$

И

$$1,5IR=U_0$$

Или

$$IR+2=1,5IR$$

$$0,5IR=2$$

$$IR=4$$

И

$$U_0=IR+2=6$$

Возвращаясь к (1), получаем

$$R\cdot 0,015+r\cdot 0,03=6$$

$$R\cdot 0,015+\frac{R}{2}\cdot 0,03=6$$

$$R\cdot 0,03=6$$

$$R=200$$

$$r=100$$

Ответ: $U_0=6$ В, $R=200$ Ом, $r=100$ Ом.