Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. Задачи 46-51

Решаем задачи олимпиады всеросса из документа

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 46.

(МОШ, 2017, 11) Определите показания вольтметров $V_1$ и $V_2$, если вольтметр $V_3$ показывает $U_3 = 16$ В. Все вольтметры одинаковые. Сопротивление вольтметров гораздо больше сопротивления резисторов.

Рисунок к задаче 46

Решение. Если вольтметры имеют очень большие сопротивления, мы можем пока выкинуть их из цепи, чтобы лучше ее рассмотреть, поскольку очень большое сопротивление можно трактовать как разрыв цепи. Видим, что сопротивления $2R$ и $3R$ соединены последовательно – пусть через них протекает ток $I$. Тогда параллельно им будет включен резистор $R$, и ток через него должен составлять $5I$. Пусть сопротивления вольтметров $r$, и пусть через $V_3$ течет ток, пропорциональный 16-ти. Просто 16 неких единиц, которые и создают падение напряжения в 16 В на нем. Через два других вольтметра будут течь токи $m$ и $n$, как показано на рисунке.

Расставим токи

Тогда можно составить систему уравнений по Кирхгофу. Одно (последнее) по первому закону, и три по второму – для каждого внутреннего контура:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} mr-nr=2RI \\ nr+16r=3RI \\mr+16r=5RI\\ m+n=16  \end{matrix}$$

Выражаем ток $m$ и подставим в первое уравнение:

$$m=16-n$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} (16-n)r-nr=2RI \\ nr+16r=3RI \\mr+16r=5RI \\ m+n=16  \end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 16r-2nr=2RI \\ nr+16r=3RI \\mr+16r=5RI \\ m+n=16  \end{matrix}$$

Вычитаем теперь из второго уравнения – первое:

$$3nr=RI$$

Подставляем во второе этот результат:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 16r-2nr=2RI \\ nr+16r=9nr \\mr+16r=5RI\\ m+n=16  \end{matrix}$$

Или $8nr=16r$, $n=2$. Тогда $m=14$. Значит, токи, пропорциональные этим числам, создадут на вольтметрах напряжения соответственно 2 В и 14 В.

Ответ: $U_1=14$ В, $U_2=2$ В.

 

Задача 47.

(Всеросс., 2018, МЭ, 10) Электрическая цепь, схема которой приведена на рисунке, состоит из резисторов, имеющих сопротивления $R = 2$ кОм и $2R$, идеального источника с напряжением $U = 3$ В и идеального амперметра. Определите показание амперметра.

Рисунок к задаче 47

Решение. Схема может быть преобразована:

Преобразование один

Преобразование два

 

Преобразование три

Теперь понятно, что

$$I_A=\frac{U}{0,75R}=\frac{3}{0,75\cdot 2000}=0,002$$

Ответ: 2мА

Задача 48.

(Всеросс., 2016, МЭ, 10) На рисунке изображена схема электрической цепи, состоящей из источника постоянного напряжения $U_0$, резисторов с одинаковым сопротивлением $R$, идеального вольтметра и идеального амперметра. Показания вольтметра $U_V = 3$ В, амперметра — $I_A = 24$ мА. Определите напряжение источника $U_0$ и сопротивление $R$ резисторов. Сопротивление источника считать равным нулю.

Рисунок к задаче 48

Решение. Перерисуем схему: вольтметр заменяем разрывом цепи, амперметр – перемычкой.

И даже вот так еще удобнее:

Из последнего рисунка видно, что к источнику подключено два сопротивления: $R$ и $2,5R$. Пусть через большее течет ток $I$, тогда через меньшее – ток $2,5I$.

А вольтметр-то подключен к точкам $a$ и $b$, и показывает он

$$0,5I\cdot R+IR=1,5IR=3$$

$$IR=2$$

А напряжение на батарейке из того же рисунка

$$U_0=2,5IR=5$$

Если вернуться теперь к первой картинке, то ток через амперметр равен $3I$:

$$3I=0,024$$

$$I=0,008$$

$$R=\frac{IR}{I}=\frac{2}{0,008}=250$$

Ответ: $U_0 =5$ В, $R=250$ Ом

Задача 49.

(Всеросс., 2017, МЭ, 10) Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, состоящую из звеньев, имеющих одинаковые сопротивления $R$. Одно звено заменено на вольтметр, сопротивление которого тоже равно $R$. К сетке подключён источник напряжения $U_0 = 20$ В так, как показано на рисунке. Найдите показание вольтметра.

Рисунок к задаче 49

Решение. Найдем токораспределние.

Токораспределение в схеме

Таким образом,

$$U_0=3IR+2IR+2IR+3IR=10IR$$

$$IR=2$$

Вольтметр показывает $3IR=6$ В.

Ответ: 6 В

Задача 50.

(Всеросс., 2017, МЭ, 11) Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, состоящую из звеньев, имеющих одинаковые сопротивления $R$. Одно звено заменено на вольтметр, сопротивление которого тоже равно $R$. К сетке подключён источник напряжения $U_0 = 14$ В так, как показано на рисунке. Найдите показание вольтметра.

Рисунок к задаче 50

Решение. Определяем токораспределение в цепи. Мы его сами придумываем. Если оно не противоречит обоим законам Кирхгофа – оно верное.

Токораспределение в схеме

Таким образом,

$$U_0=2,5IR+2,5IR+2IR=7IR=14$$

$$IR=2$$

Вольтметр показывает $2IR=4$ В.

Ответ: 4 В