Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Средний уровень. Задачи 42-45

Задача 42.

(«Росатом», 2016, 11) В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке, два из трёх резисторов одинаковы, третий отличается от них. Известно, что показания первого амперметра $I_1 = I$, второго — $I_2 = \frac{2I}{3}$. Известно, что сопротивление первого резистора $r$. Найти сопротивления второго и третьего резисторов. Считать, что сопротивления амперметров равны нулю.

Рисунок к задаче 42

Решение. Если $R_1=R_3$, то показания амперметров одинаковы, а это не так:

Так не может быть, потому что не соответствует условию на величины токов

Значит, либо $R_1=R_2$, либо $R_2=R_3$. В первом случае $R_2=r, R_3=\frac{r}{2}$:

Токи соответствуют заданным

Во втором токораспределение следующее:

Второй подходящий случай

Оно подсказывает, что $R_2=R_3=\frac{r}{3}$.

Ответ: а) $R_2=r, R_3=\frac{r}{2}$; б) $R_2=R_3=\frac{r}{3}$

Задача 43.

(МОШ, 2018, 10) Участок цепи, схема которого приведена на рисунке, включает резисторы с сопротивлениями $R$ и $2R$. Показания первого амперметра $I_1 = 0,1$ А. Найдите показания второго амперметра.

Рисунок к задаче 43

Решение. Преобразуем схему:

Перерисуем схему в более понятном варианте

После преобразования понятно, что через резистор $2R$ (параллельный первому амперметру) течет ток $0,05$ А, а через второй амперметр тогда - $0,15$ А.

Ответ: $I_2 = 0,15$ А

Задача 44.

(МОШ, 2017, 10) В цепи, представленной на рисунке, сопротивления резисторов одинаковы и равны 1 кОм, сопротивления амперметров пренебрежимо малы. Напряжение идеального источника 70 В. Найдите показания амперметров. Чему равно общее сопротивление цепи?

Рисунок к задаче 44

Решение. Преобразуем схему:

Меняем схему "под себя": как нам удобнее ее видеть

Два резистора, в которых нет тока, убрала из схемы – ток течет через мизерные сопротивления амперметров.

Теперь понятно: к ЭДС подключены три ветви: в первой  один резистор, во второй – два, и в третьей – три. На самом деле из-за амперметра $A_1$ немного не так, а так (амперметры заменены перемычками):

Амперметры заменены перемычками, схема нагляднее

Таким образом, ток в первом резисторе

$I_1=\frac{U}{R}=0,07$$

Сопротивление

$$R_{245}=\frac{R\cdot 2R}{2R+R}=\frac{2}{3}R$$

$$R_{36}=\frac{R}{2}$$

$$ R_{245}+ R_{36}=\frac{2}{3}R+\frac{R}{2}=\frac{7}{6}R$$

Поэтому ток в этой ветви будет равен $I_{23456}=0,06$ А.

Тогда легко теперь можно восстановить полное токораспределние в схеме:

Расстановка токов

Теперь, возвращаясь к исходной схеме, видно, что $I_{A1} = 10$ мА; $I_{A2} = 20$ мА; $I_{A3} =30$ мА.

Полное сопротивление найдем так: разделим ЭДС на ток в неразветвленной части:

$$R_0=\frac{U}{I_1+I_3+I_6}=\frac{70}{0,13}=538,5$$

Ответ:  $I_{A1} = 10$ мА; $I_{A2} = 20$ мА; $I_{A3} =30$ мА, $R_0=538,5$ Ом.

 

Задача 45.

(МОШ, 2016, 10) Из идеального источника напряжения и четырёх резисторов собрана цепь, схема которой показана на рисунке. Когда между клеммами A и B подключили идеальный вольтметр, он показал напряжение $U = 4$ В. Когда вместо вольтметра подключили идеальный амперметр, его показания составили $I = 30$ мА. Затем вместо амперметра между клеммами A и B подключили ещё один резистор сопротивлением $R$. Найдите силу тока через этот резистор.

Рисунок к задаче 45

Решение. Если подключить идеальный амперметр, то он в цепи представляет собой перемычку. Получаем два параллельных соединения, токораспределение на рисунке:

Подключаем амперметр (заменен перемычкой)

Полное сопротивление в этой схеме

$$R_0=\frac{R\cdot 2R}{3R}\cdot 2=\frac{4R}{3}$$

Ток через амперметр $I=30$ мА, полный ток в неразветвленной части $3I=90$ мА, ЭДС источника

$$E=3I\cdot R_0=3I\cdot \frac{4R}{3}=4RI$$

Если подключить вольтметр, то его можно заменить разрывом цепи. При этом образуются две идентичные параллельные ветви, каждая сопротивлением $3R$. Ток в каждой равен $\frac{E}{3R}=\frac{4RI}{3R}=\frac{4}{3}I=40$ мА.

Подключаем вольтметр

ЭДС источника можно найти как (показано красной стрелкой)

$$2R\cdot \frac{4}{3}I+4=4RI$$

Откуда

$$4=\frac{4}{3}RI$$

$$RI=3$$

ЭДС, таким образом, 12 В.

Тогда $2R\cdot \frac{4}{3}I=8$ В, $2R\cdot 0,04=8$ В, $R=100$ Ом.

 Если подключить еще один резистор, то схема будет такая:

Ставим дополнительный резистор

Для нее запишем:

$$I+I_2=I_1$$

$$2RI_2-RI+2RI_2=E~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$RI_1+RI+RI_1=E~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Преобразуем (1):

$$4RI_2-R(I_1-I_2)=E$$

$$5RI_2-RI_1=E$$

Преобразуем (2):

$$2RI_1+R(I_1-I_2)=E$$

$$3RI_1-RI_2=E$$

Приравняем:

$$5RI_2-RI_1=3RI_1-RI_2$$

$$6I_2=4I_1$$

$$I_1=1,5I_2$$

Тогда

$$4,5RI_2-RI_2=E$$

$$3,5\cdot 100I_2=12$$

$$I_2=\frac{12}{350}$$

$$I_1=\frac{18}{350}$$

$$I=I_1-I_2=\frac{6}{350}=0,017$$

Ответ: 17 мА.