Постоянный ток: источники тока 2

Расчет падений напряжений между различными точками, определение токов и напряжений в цепи в том числе с использованием законов Кирхгофа - вот что нас ждет в этой статье.

Задача 1.

В батарее, изображенной на рисунке, $E_1 = 10$ В, $r_1=1$ Ом, $E_2=8$ В‚$r_2=2$ Ом‚ $E_3= 15$ В, $r_3=3$ Ом; $R_1=5$ Ом‚ $R_2=1$ Ом. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление этой батареи.

Внутренние сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

$$r=r_1+r_2+r_3+R_1+R_2=12$$

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

$$E=E_1+E_2-E_3=3$$

Ответ: $r=12$ Ом, $E=3$ В.

Задача 2.

Вычислить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, состоящей из трех источников ЭДС (рис.), если ЭДС источников соответственно 10 В, 20 В, 30 В, а их внутренние сопротивления одинаковы и равны 1 Ом.
При параллельном соединении источников их можно пересчитать в один по следующим формулам:

$$\frac{E}{r}=\sum^{n}_{i=1}  {\frac{E_i}{r_i}}$$

$$\frac{1}{r}=\sum^{n}_{i=1}  {\frac{1}{r_i}}$$

Тогда

$$\frac{E}{r}=\frac{E_1}{r_1}+\frac{E_2}{r_2}=\frac{10}{1}+\frac{20}{1}=30$$

$$r=0,5$$

$$E=15$$

Теперь пересчитаем последовательное соединение двух источников:

$$E_0=E+E_3=15+30=45$$

$$r_0=r+r_3=1,5$$

Ответ: $r_0=1,5$ Ом, $E_0=45$ В.

Задача 3.

  В некоторой цепи имеется участок, изображенный на рисунке, $R_1 = 1$ Ом,$R_2 = 2$ Ом‚$R_3=3$ Ом, $\varphi = 10$В, $\varphi_2=9$ В‚ $\varphi_3=6$ В. Найти силу тока в каждом сопротивлении и потенциал $\varphi_0$.

По первому закону Кирхгофа $I_1+I_2+I_3=0$.

Пусть

$$I_1=\frac{\varphi_1-\varphi_0}{R_1}$$

$$I_2=\frac{\varphi_2-\varphi_0}{R_2}$$
$$I_3=\frac{\varphi_3-\varphi_0}{R_3}$$
Тогда:

$$\frac{\varphi_1-\varphi_0}{R_1}+\frac{\varphi_2-\varphi_0}{R_2}+\frac{\varphi_3-\varphi_0}{R_3}=0$$

$$\frac{\varphi_1}{R_1}+\frac{\varphi_2}{R_2}+\frac{\varphi_3}{R_3}=\frac{\varphi_0}{R_1}+\frac{\varphi_0}{R_2}+\frac{\varphi_0}{R_3}$$

$$\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{R_1R_2R_3}=\varphi_0\frac{ R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2}{ R_1R_2R_3}$$

$$\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2=\varphi_0(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)$$

$$\varphi_0=\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2}$$

Тогда сила тока в ветвях:

$$I_1=\frac{\varphi_1}{R_1}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_1(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}$$
$$I_2=\frac{\varphi_2}{R_2}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_2(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}$$
$$I_3=\frac{\varphi_3}{R_3}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_3(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}$$

Задача 4.

Определить разность потенциалов между клеммами в схеме, изображенной на рисунке, если $E = 4$ В, $R_1 = 3$ Ом, $R2 = 1$ Ом.

Сопротивления ветвей равны

$$R=R_1+R_2=4$$

Так как сопротивления ветвей равны, то общее сопротивление обеих ветвей

$$R_0=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}=2$$

А ток в неразветвленной части цепи равен

$$I=\frac{E}{R_0}=2$$

Этот ток разделится ровно пополам в точке $a$ - опять же по причине равенства сопротивлений ветвей. Таким образом, токи в ветвях равны 1 A.

Эти токи создадут падения напряжений $U_1=I_1R_1=3$ В, $U_2=I_2R_2=1$ В.

Из рисунка можем записать по второму закону Кирхгофа:

$$U=U_2-U_1=1-3=-2$$

Ответ: $U=-2$ В.

Задача 5.

Найти разность потенциалов на зажимах каждого источника тока, если $r_1 = 1$ Ом, $r_2= 1,5$ Ом, $R = 0,5$ Ом, $E_1 = E_2 = 2$ В.

Определим ток в цепи, для этого сначала определим суммарную ЭДС:

$$E_0=E_1+E_2=4$$

$$R_0=R+r_1+r_2=3$$

Ток в цепи равен:

$$I=\frac{E_0}{R_0}=\frac{4}{3}$$

Такой ток создаст падение напряжения на $r_1$:

$$U_1=Ir_1=\frac{4}{3}$$

На $r_2$:

$$U_2=Ir_2=2$$

Тогда на зажимах первого источника

$$\Delta \varphi_1=E_1-U_1=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$

На зажимах второго источника

$$\Delta \varphi_1=E_2-U_2=2-2=0$$

Ответ: $\Delta \varphi_1=\frac{2}{3}$ B, $\Delta \varphi_2=0$ B.

Задача 6.

В цепь включены три источника ЭДС и два резистора (рис.) Определить ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника‚ действующего в цепи, а также разность потенциалов между точками А и В, если $E_1 = 10$ В, $E_2 = 20$ В, $E_3 = 15$ В, $r_1 = 1$ Ом, $r_2 = 2$ Ом, $r_3 = 1,5$ Ом, $R_1 = 4,5$ Ом, $R_2=16$ Ом.

Вcе сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

$$r=r_1+r_2+r_3=4,5$$

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

$$E=E_1+E_2-E_3=15$$

Ток в цепи будет равен:

$$I=\frac{E}{r+R_1+R_2}=\frac{15}{4,5+4,5+16}=0,6$$

Такой ток создаст падения напряжений:

$$U_{R_1}=IR_1=2,7$$

$$U_{r_1}=Ir_1=0,6$$

$$U_{r_2}=Ir_2=1,2$$

По второму закону Кирхгофа запишем:

$$ U_{R_1}+ U_{r_1}+ U_{r_2}-U_{AB}=E_1+E_2$$
$$U_{AB}= U_{R_1}+ U_{r_1}+ U_{r_2}-E_1-E_2=4,5-10-20=-25,5$$

Ответ: $U_{AB}=-25,5$ В.

Задача 7.

В схему включены три батареи (рис. 12.62) $E_1 = 3$ В, $E_2 = 2$ В, $E_3 = 3$ В, $r = 1$ Ом, $r_2 = 2$ Ом, $r_3 = 3$ Ом. Найти напряжение на зажимах первой батареи.

Вcе сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

$$r=r_1+r_2+r_3=6$$

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

$$E=E_1-E_2+E_3=4$$

Ток в цепи будет равен:

$$I=\frac{E}{r}=\frac{4}{6}=0,66$$

Такой ток создаст падение напряжения:

$$U_{r_1}=Ir_1=0,66$$

Искомое напряжение равно

$$U_{AB}=E_1-Ir_1=3-0,66=2,34$$

Ответ: $U_{AB}=2,34$ В.