Постоянный ток - задачник Добродеева. Часть 2

Задача 19.8.

Нихромовая спираль нагревательного элемента должна иметь сопротивление $R = 30$ Ом при температуре накала $t = 900^{\circ}$ С. Какой длины $l$ надо взять проволоку для изготовления спирали, если площадь поперечного сечения проволоки $S = 0,30$ мм$^2$ ? Удельное сопротивление нихрома $\rho = 1,1$ мкOм·м, температурный коэффициент сопротивления $\alpha = 0,4\cdot 10^{-3}$ 1/К .

Решение.

$$R=\rho\frac{l}{S}=\rho_0(1+\alpha t)\cdot \frac{l}{S}$$

Откуда

$$l=\frac{RS}{\rho_0(1+\alpha t)}=\frac{30\cdot 0,3\cdot 10^{-6}}{1,1\cdot 10^{-6}(1+0,4\cdot 10^{-3}\cdot 900)}=6,01$$

Ответ: 6 м.

Задача 19.9.

Угольный стержень соединен последовательно с железным такой же толщины. При каком соотношении их длин сопротивление данной комбинации не зависит от температуры? Температурные коэффициенты сопротивления угля и железа  $\alpha_1= - 0,8 \cdot 10^{-3}$ 1/К, $\alpha_2= 6 \cdot 10^{-3}$ 1/К, удельные сопротивления $\rho_1 = 4\cdot 10^{-5}$ Oм·м, $\rho_2 = 1,1\cdot 10^{-6}$ Oм·м соответственно.

Решение. Аналогично предыдущей задаче

$$R_1+R_2=\rho_1(1+\alpha_1 t)\cdot \frac{l_1}{S_1}+\rho_2(1+\alpha_2 t)\cdot \frac{l_2}{S_2}=\rho_1\frac{l_1}{S_1}+\frac{\rho_1\alpha_1 t l_1}{S_1}+\rho_2\frac{l_2}{S_2}+\frac{\rho_2\alpha_2 t l_2}{S_2}$$

Первое и третье слагаемые от температуры не зависят, а зависят второе и четвертое. Их сумма должна быть равна нулю при любой температуре, то есть должно выполняться условие:

$$\frac{\rho_1\alpha_1 t l_1}{S_1}=\frac{\rho_2\alpha_2 t l_2}{S_2}$$

Или

$$\rho_1\alpha_1 l_1=\rho_2\alpha_2 l_2$$

Тогда

$$\frac{l_2}{l_1}=\frac{\rho_1\alpha_1}{\rho_2\alpha_2}=4,85$$

Ответ: $\frac{l_2}{l_1}=4,85$

Задача 19.10.

К сети напряжением $U = 120$ В присоединяют два резистора. При их последовательном соединении сила тока $I_1 = 3$ А, а при параллельном - сила суммарного тока $I_2=16$ А. Чему равны сопротивления этих резисторов $R_1$ и $R_2$?

Решение.

$$R_1+R_2=\frac{U}{I_1}=\frac{120}{3}=40$$

$$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{U}{I_2}=\frac{120}{16}=7,5$$

Или, используя первое условие,

$$R_1R_2=7,5\cdot 40=300$$

По сути, перед нами теорема Виета: надо подобрать два числа, произведение которых 300, а сумма – 40. Очевидно, это 10 и 30.

Ответ: $R_1=30$, $R_2=10$.

Задача 19.11.

Две электрические цепи состоят из резисторов с известными сопротивлениями $R$ и $2R$ и неизвестным сопротивлением $r$ (рис. ). При каком $r$ сопротивления обеих цепей, измеренные между точками А и В, окажутся одинаковыми?

Рисунок к задаче 19.11

Решение. Сопротивление первой цепи (слева)

$$R_{lev}=\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+R$$

А справа

$$R_{prav}=\frac{\left(\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+R\right)\cdot 2R}{\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+3R }+R$$

Приравняем:

$$\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+R=\frac{\left(\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+R\right)\cdot 2R}{\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+3R }+R$$

$$\frac{r\cdot 2R}{2R+r}=\frac{\left(\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+R\right)\cdot 2R}{\frac{r\cdot 2R}{2R+r}+3R}$$

Обозначим $\frac{r\cdot 2R}{2R+r}=a$.

$$a\cdot(a+3R)=(a+R)\cdot 2R$$

$$a^2+3aR=2aR+2R^2$$

$$a^2+aR=2R^2$$

$$\left(\frac{a}{R}\right)^2+\frac{a}{R}=2$$

Это квадратное относительно $\frac{a}{R}$ уравнение, имеющее корни 1 и -2. Очевидно, нам нужен первый корень:

$$\frac{a}{R}=\frac{2r}{2R+r}=1$$

$$2r=2R+r$$

$$r=2R$$

Ответ: $r=2R$.

Задача 19.12.

В схему (рис.) включены два амперметра и два одинаковых вольтметра. Схема подключена к источнику. Показания амперметров $I_1 = 1$ A,$I_2 = 0,9$ A, показания первого вольтметра $U_1 = 10$ В. Найти показания второго вольтметра $U_2$.

Рисунок к задаче 19.12

Решение. Показания первого вольтметра и первого амперметра дают нам сопротивление вольтметра: $R_V=\frac{U_1}{I_1}=10$ Ом. У второго – такое же сопротивление. А ток через него протекает $I_{V2}=I_1-I_2=0,1$ А. Поэтому его показания - $U_2=I_{V2}R_V=1$ В.

Ответ: 1 В.