Измерительные приборы - 2

Решаем задачи из учебника Мякишева и Синякова для углубленного уровня, 10 класс (упражнение 5).

Задача 1.

Предел измерения миллиамперметра с внутренним сопротивлением $R=150$ Ом равен $I=10$ мА. Какой длины $l$ надо взять манганиновую проволоку диаметром $d=0,1$ мм в качестве добавочного резистора, чтобы использовать этот миллиамперметр как вольтметр с пределом измерения $U=10$ В? Удельное сопротивление манганина $\rho=4,2\cdot 10^{-7}$ Ом$\cdot$ м.

Решение. Чтобы при данном токе вольтметр показывал 10 В, необходимо, чтобы его сопротивление составляло бы

$$R_V=\frac{U_V}{I}=\frac{10}{0,01}=1000$$

Но 150 Ом у нас уже есть, поэтому надо к ним добавить еще 850 Ом. То есть сопротивление проволоки добавочного сопротивления – 850 Ом. Так как

$$R=\rho\frac{l}{S}$$

То

$$l=\frac{RS}{\rho}=\frac{R\cdot \pi d^2}{4\rho}=\frac{850\cdot \pi \cdot 0,0001^2}{4\cdot 4,2\cdot 10^{-7}=15,89$$

Ответ: 16 м.

Задача 2.

Если вольтметр соединить последовательно с резистором сопротивлением $R=10$ кОм, то при напряжении в цепи $U=120$ В он покажет $U_1=50$ В. Если соединить его последовательно с резистором неизвестного сопротивления, то при том же напряжении он покажет $U_2=10$ В. Чему равно неизвестное сопротивление?

Решение. В первом случае на вольтметре падает 50 В, а на резисторе – 70 В. Значит, ток в цепи

$$I=\frac{U_R}{R}=\frac{70}{10000}=0,007$$

Тогда сопротивление вольтметра в Омах

$$R_V=\frac{U_V}{I}=\frac{50}{0,007}=7143$$

Теперь второе соединение. Теперь резистор другой, и на нем падает 110 В (так как еще 10 В падает на вольтметре). А сопротивление вольтметра мы знаем, поэтому можем вычислить новый ток в цепи:

$$I_x=\frac{U_V}{R_V}=\frac{10}{7143}=0,0014$$

$$R_x=\frac{U_{R_x}}{ I_x }=\frac{110}{0,0014}=78573$$

Ответ: 79 кОм.

Задача 3.

Для определения напряжения на резисторе $R$ к концам его подключают вольтметр. Какая относительная ошибка $\delta$ будет допущена, если показания вольтметра принять за то напряжение, которое было на резисторе до включения прибора? Сила тока в цепи постоянна. Сопротивление вольтметра $R_0$.

Решение. Ток тек через резистор, а когда подключили вольтметр (параллельно), то малая часть тока ответвится через вольтметр. Токи в резисторе и вольтметре относятся как

$$\frac{I_R}{I_V}=\frac{R_0}{R}$$

Полный ток

$$I= I_R+ I_V$$

Часть, протекающая через вольтметр, составляет от полного тока

$$\frac{I_V}{I}=\frac{ I_V }{ I_R+ I_V }=\frac{1}{\frac{I_R}{I_V}+1}$$

$$\frac{I_V}{I}=\frac{1}{\frac{R_0}{R}+1}=\frac{R}{R_0+R}$$

Такова и будет ошибка:

$$\delta=\frac{R}{R_0+R}$$

Ответ: $\delta=\frac{R}{R_0+R}$