Расчет сопротивлений сеток - 1

Задачи на расчет сопротивлений сеток. В этой серии статей мы должны определить распределение токов в  ветвях, и это позволит определить полное сопротивление цепи. Действительно, если разделить падение напряжения на всем участке, от входа до выхода, на входной ток – то и получится полное сопротивление.

Задача 1.

Нам дана схема и ток в одной из ветвей. Наша задача – определить токи во всех остальных ветвях, пользуясь обоими законами Кирхгофа. Сопротивления всех проволочных перемычек одинаковы. С помощью распределения токов найти полное сопротивление схемы.

Задача 1, рисунок 1 

Если в указанной ветви ток $I$, то во всей, логично?

Задача 1, рисунок 2

Обведенные рыжим точки являются точками равного потенциала (из-за симметрии схемы), поэтому ток между ними не потечет.

Задача 1, рисунок 3

Тогда можно восстановить ток верхней и нижней веток:

Задача 1, рисунок 4

Ну а теперь, пользуясь вторым законом Кирхгофа – в данном случае необходимо, чтобы падения напряжений на параллельных ветвях были одинаковы – понимаем, что в средней ветке течет ток $2I$.

Задача 1, рисунок 5

Теперь, чтобы определить сопротивление, проходим ЛЮБЫМ путем от точки входа до точки выхода и «собираем» падения напряжения:

Задача 1, рисунок 6

$$U=2IR+2IR=4IR$$

Чтобы определить сопротивление схемы, делим падение напряжения $U$ на входной ток $4I$:

$$R_0=\frac{4IR}{4I}=R$$

В данном случае схема сама по себе простая, поэтому можно было определить сопротивление безо всех этих ухищрений. Но мы осваиваем способ, новый для нас, поэтому начинаем с простых симметричных схем.

Задача 2.

Дана схема и ток в одной из ветвей. Наша задача – определить токи во всех остальных ветвях, пользуясь обоими законами Кирхгофа. Сопротивления всех проволочных перемычек одинаковы. С помощью распределения токов найти полное сопротивление схемы.

Задача 2, рисунок 1

Ток одинаков во всей ветке:

Задача 2, рисунок 2

Теперь пользуемся симметрией и восстанавливаем ток в верхней ветке:

Задача 2, рисунок 3

Пользуясь первым законом Кирхгофа, понимаем, каков будет «рыжий» ток – все изменения в рисунок вношу новым цветом, чтобы вам было понятна последовательность размышлений и действий.

Задача 2, рисунок 4

Настало время второго закона. Падения напряжений между одними и теми же двумя точками, как бы мы ни перемещались между ними, должны быть одинаковы, поэтому «зеленый» ток должен быть равен $4I$.

Задача 2, рисунок 5

Теперь понятна становится величина «фиолетового» тока.

Задача 2, рисунок 6

Тогда между точкой входа и выхода по второму закону должен протекать ток $14I$:

Задача 2, рисунок 7

Падение напряжения между входом и выходом - $14IR$, сопротивление схемы:

$$R_0=\frac{14IR}{24I}=\frac{7}{12}R$$

 

Задача 3.

Дана схема и ток в одной из ветвей. Наша задача – определить токи во всех остальных ветвях, пользуясь обоими законами Кирхгофа. Сопротивления всех проволочных перемычек одинаковы. С помощью распределения токов найти полное сопротивление схемы.

Задача 3, рисунок 1

Сразу, пользуясь симметрией, расставляем «синие» токи.

Задача 3, рисунок 2

Теперь зовем на помощь второго Кирхгофа (и симметрию):

Задача 3, рисунок 3

Наконец, оставшиеся ветви. И сразу же входной ток:

Задача 3, рисунок 4

Падение напряжения между входом и выходом - $2IR+ IR + IR +2IR=6IR$, сопротивление схемы:

$$R_0=\frac{6IR}{4I}=1,5R$$

Задача 4.

Дана схема и ток в одной из ветвей. Наша задача – определить токи во всех остальных ветвях, пользуясь обоими законами Кирхгофа. Сопротивления всех проволочных перемычек одинаковы. С помощью распределения токов найти полное сопротивление схемы.

Задача 4, рисунок 1

Сразу же определяем точки равного потенциала (выделены рыжим) – между этими узлами ток не протекает. И пользуемся симметрией, расставляем «синие» токи.

Задача 4, рисунок 2

По второму закону Кирхгофа расставляем «зеленые» токи.

Задача 4, рисунок 3

Теперь первый закон:

Задача 4, рисунок 4

И снова второй закон Кирхгофа:

Задача 4, рисунок 5

Наконец, входной ток равен $8I$, и сопротивление цепи

Задача 4, рисунок 6

$$R_0=\frac{10IR}{8I}=1,25R$$

Задача 5.

Дана схема и ток в одной из ветвей. Наша задача – определить токи во всех остальных ветвях, пользуясь обоими законами Кирхгофа. Сопротивления всех проволочных перемычек одинаковы. С помощью распределения токов найти полное сопротивление схемы.

Задача 5, рисунок 1

Пользуемся симметрией, и расставим «синие» токи.

Задача 5, рисунок 2

Далее «зеленые» токи по первому закону Кирхгофа.

Задача 5, рисунок 3

Теперь «фиолетовые» токи по второму закону Кирхгофа.

Задача 5, рисунок 4

И, наконец, «желтые» токи, входной ток и полное сопротивление:

Задача 5, рисунок 5

$$R_0=\frac{10IR}{12I}=\frac{5}{6}R$$