Закон Джоуля-Ленца

Задача 1.

Определить заряд, прошедший в проводнике, если сила тока в нем равномерно возрастает от $I_0=0$ до $I=2$ А в течение 5 с.

Решение. Заряд есть площадь под графиком тока:

$$q=\frac{1}{2}(I-I_0)t=5$$

Ответ: 5 Кл.

Задача 2.

Найти отношение количества теплоты $Q_1$, выделившегося в проводнике за первую секунду, к количеству теплоты $Q_2$, выделившемуся за вторую секунду, если известно, что сила тока в проводнике $R=15$ Ом нарастает в течение 2 с по линейному закону от $I_0=0$ до $I_{max}=5$ А.

Решение. По закону Джоуля-Ленца

$$Q=I^2Rt$$

Где $I=kt$ (линейная зависимость, причем $k=2,5$ А/с).

Тогда

$$Q_1=\int_0^{\frac{\tau}{2}} I^2R dt=\int_0^{\frac{\tau}{2}} k^2t^2R dt=k^2R \int_0^{\frac{\tau}{2}} t^2 dt$$

$$Q_1= k^2R \frac{t^3}{3} |_0^{\frac{\tau}{2}}=\left(\frac{\tau}{2}\right)^3\cdot \frac{k^2R}{3}=\frac{\tau^3 k^2R }{24}$$

$$Q_2=\int_{\frac{\tau}{2}}^{\tau} I^2R dt= \int_{\frac{\tau}{2}}^{\tau} k^2t^2R dt=k^2R \int_{\frac{\tau}{2}}^{\tau}  t^2 dt$$

$$Q_1= k^2R \frac{t^3}{3} |_{\frac{\tau}{2}}^{\tau}=\frac{\tau^3}{3} k^2R -\left(\frac{\tau}{2}\right)^3\frac{k^2R}{3}=\frac{7}{8}\frac{\tau^3}{3} k^2R =\frac{7\tau^3 k^2R }{24}$$

Отношение количеств теплоты будет таким:

$$\frac{Q_2}{Q_1}=7$$

Ответ: 7.

Задача 3.

Сила тока в проводнике сопротивлением $R=100$ Ом равномерно убывает от $I_0=10$ А до $I=0$ за время $\tau=30$ с. Определите выделившееся в проводнике за это время количество теплоты.

Решение. Количество теплоты, выделившееся что при убывании тока, что при возрастании, одно и тоже. Поэтому можно записать закон изменения тока как $I_0-kt$, где $k=\frac{1}{3}$, так и просто $kt$ - решение не изменится. Покажем это:

$$Q=\int_0^{\tau} I^2 R dt=\int_0^{\tau} (I_0-kt)^2 R dt=R\int_0^{\tau} (I_0^2-2I_0 k t+k^2t^2) dt$$

$$Q_1= R\int_0^{\tau} I_0^2dt - R\int_0^{\tau} 2I_0 k tdt + R\int_0^{\tau} k^2t^2dt= (RI_0^2t-2RkI_0\frac{t^2}{2}+Rk^2\frac{t^3}{3}) |_{0}^{\tau}$$

$$ Q_1= RI_0^2\tau-R k I_0\tau^2+Rk^2\frac{\tau^3}{3}= RI_0^2\tau-R  I_0\frac{\tau^2}{3}+R\frac{\tau^3}{27}=$$ $$=100\cdot 10^2\cdot 30- 100\cdot 10\cdot 300+100\cdot\frac{27000}{27}=3\cdot 10^5-3\cdot10^5+10^5=10^5$$

И другим способом, при возрастании тока

$$Q=\int_0^{\tau} I^2 R dt=\int_0^{\tau} k^2t^2 R dt=Rk^2\int_0^{\tau} t^2dt=Rk^2\frac{t^3}{3} |_{0}^{\tau}$$

$$Q= Rk^2\frac{\tau^3}{3}=100\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{30^3}{3}=10^5$$

Ответ: 100 кДж.

Задача 4.

По проводнику сопротивлением $R=3$ Ом течет ток, сила которого линейно возрастает с течением времени. Количество теплоты, выделившееся в проводнике за 8 с, равно $Q=200$ Дж. Определить количество электричества $q$, протекшего за это время по проводнику. Начальный ток равен нулю.

Решение. Действуем так же, как и в предыдущей задаче.

$$Q=\int_0^{\tau} I^2 R dt=\int_0^{\tau} k^2t^2 R dt=Rk^2\int_0^{\tau} t^2dt=Rk^2\frac{t^3}{3} |_{0}^{\tau}$$

$$Q= Rk^2\frac{\tau^3}{3}=200$$

$$k^2=\frac{3Q}{R\tau^3}=\frac{600}{3\cdot 8^3}=\frac{25}{8^2}$$

$$k=\frac{5}{8}$$

$$q=\int_0^{\tau} I dt=\int_0^{\tau} kt dt= \frac{kt^2}{2} |_{0}^{\tau}$$

$$q=\frac{k\tau^2}{2}=\frac{5}{8}\cdot\frac{8^2}{2}=20$$

Ответ: 20 Кл