Постоянный ток - подготовка к олимпиадам

Моя олимпиадная группа продолжает решать, и я вместе с ними решаю - готовлюсь к занятиям. И заодно статьи пишу.

Задача 1.

В «чёрном ящике» с двумя контактами находится схема, состоящая из незаряженного конденсатора и резистора. К контактам в момент времени $t = 0$ подсоединили конденсатор ёмкостью $C$, имеющий заряд $Q_0$. График зависимости заряда на этом конденсаторе от времени изображён на рисунке. Найдите сопротивление резистора и ёмкость конденсатора, находящихся в «чёрном ящике».

К задаче 1

Решение. Внутри черного ящика резистор и конденсатор, и соединены они либо последовательно, либо параллельно. Если бы соединение было бы параллельным, то постепенно оба конденсатора разрядились бы через резистор, их энергия необратимо превратилась бы в тепло. Но по графику видно, что заряд сначала уменьшался, а потом оставался на одном и том же уровне. Это говорит о том, что соединение последовательное.

Заряженный конденсатор поделился зарядом с незаряженным и потерял при этом ровно половину заряда. Значит, емкости обоих конденсаторов равны:

$$C_x=C$$

Но заряд не меняется мгновенно, поэтому в первый момент времени на $C_x$ напряжение равно нулю, а на резисторе напряжение такое же, как на внешнем конденсаторе.

$$U_R=\frac{Q_0}{C}=IR$$

$$R=\frac{Q_0}{IC}$$

В свою очередь

$$I=\frac{dQ}{dt}$$

По графику

$$\frac{dQ}{dt}=\frac{Q_0}{\tau}$$

Где $\frac{\tau}{2}$ - постоянная времени цепи и может быть найдена по графику с помощью касательной: от момента касания до пересечения касательной установившегося значения проходит ровно данное время, у нас это $\frac{\tau}{2}$ - это свойство экспоненты.

Свойство экспоненты

$$R=\frac{Q_0}{IC}=\frac{Q_0}{\frac{Q_0}{\tau} C}=\frac{\tau}{C}$$

Ответ: $C_x=C; R=\frac{\tau}{C}$.

Задача 2.

Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС $U_0$, идеального амперметра и четырех одинаковых нелинейных элементов, для каждого из которых в отличие от закона Ома, связь силы тока и напряжения имеет вид: $I=\alpha U^2$ (рисунок). Найти показания амперметра.

К задаче 2

Решение. Так как два элемента (3 и 4) соединены параллельно с элементом 2, то на них одинаковые напряжения. То есть если на элементе 2 напряжение $u_2$, то на элементах 3 и 4 по $\frac{U_2}{2}$.

Тогда ток через элемент 2 равен

$$I_2=\alpha U_2^2$$

А через элементы 3-4 ток будет равен

$$I_3=\alpha\frac{U_2^2}{4}$$

По первому закону Кирхгофа

$$I_1=I_2+I_3=\frac{5}{4}\alpha U_2^2$$

Если удастся найти $U_2$ - дело в шляпе.

На элементе 1 напряжение равно

$$U_1=\sqrt{\frac{I_1}{\alpha}}=U_2\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{U_2}{2}\sqrt{5}$$

А напряжение на батарее равно

$$U_0=U_1+U_2=\frac{U_2}{2}\sqrt{5}+U_2=U_2\left(\frac{ \sqrt{5}}{2}+1\right)$$

Теперь можно найти $U_2$:

$$U_2=\frac{U_0}{\left(\frac{ \sqrt{5}}{2}+1\right)}=\frac{2U_0}{\sqrt{5}+2}$$

Определяем ток через амперметр:

$$I_1=\frac{5}{4}\alpha U_2^2=\frac{5\alpha U_0^2}{(\sqrt{5}+2)^2}=5\alpha U_0^2 (9-4\sqrt{5})$$

Ответ: $I_1=5\alpha U_0^2 (9-4\sqrt{5})$.

Задача 3.

В схеме, изображённой на рисунке, определите ток через идеальный диод $D$ и напряжение на диоде. Параметры схемы указаны на рисунке, внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.

К задаче 3

Решение. Воспользуемся методом узловых потенциалов. Для этого надо прежде предположить, открыт диод или закрыт. Если, предположив, что диод закрыт, мы получим на нем нулевое напряжение – значит, мы ошиблись с предположением и наоборот: на открытом диоде падение напряжения должно получиться равным нулю. Итак, пусть диод открыт. Расставляем потенциалы, принимая любую произвольную точку за точку с нулевым потенциалом. Пусть это точка между диодом и источником. Но, так как на открытом диоде падение напряжения равно нулю, то и над диодом точка имеет потенциал ноль:

Метод потенциалов

Обозначим ток в правой ветви $I_1$, а в левой $I_2$ (оба направлены вниз, от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким).

$$I_1=\frac{3\varepsilon-\varepsilon }{3R}=\frac{2\varepsilon }{3R}$$

$$I_2=\frac{2\varepsilon-\varepsilon }{2R}=\frac{\varepsilon }{2R}$$

По первому закону Кирхгофа сумма этих двух токов и образует ток через диод (и он течет как раз в правильном направлении!)

$$I_D=I_1+I_2=\frac{\varepsilon }{R}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)=\frac{7\varepsilon }{6R}$$

Если бы мы предположили обратное, то есть что диод закрыт. Тогда ток замыкался бы только по внешнему контуру, по часовой стрелке, и был бы равен

$$I=\frac{3\varepsilon-2\varepsilon }{5R}=\frac{\varepsilon }{5R}$$

Напряжение на диоде должно быть направлено вниз (если он закрыт), и по второму закону Кирхгофа его можно найти:

$$U_D-3R\cdot \frac{\varepsilon }{5R}=\varepsilon-3\varepsilon$$

$$ U_D-\frac{3\varepsilon }{5}=-2\varepsilon$$

$$U_D=-1,4\varepsilon$$

То есть напряжение получилось направленным не туда, куда нам надо. Значит, предположение о том, что диод закрыт, неверно.

Ответ: $I_D=\frac{7\varepsilon }{6R}$, $U_D=0$.