Закон Джоуля-Ленца и мощность тока

Решаем задачи из учебника Мякишева и Синякова для углубленного уровня, 10 класс (упражнение 5).

Задача 1.

Двум одинаковым плоским конденсаторам, соединенным параллельно, сообщен заряд $q$. В момент времени $t=0$ расстояние между пластинами первого конденсатора начинает равномерно увеличиваться по закону $d_1=d_0+\upsilon t$, а расстояние между пластинами второго  - равномерно уменьшаться по закону $d_2=d_0-\upsilon t$. Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, найдите силу тока в цепи во время движения пластин конденсаторов.

Решение. Емкость первого уменьшается, а емкость второго увеличивается. При этом заряд системы конденсаторов сохраняется $q_1+q_2=q$. Но перераспределяется. Отсюда и ток.

Через время $t$ емкость первого конденсатора равна

$$C_1=\frac{\varepsilon S}{d_1}$$

А второго

$$C_2=\frac{\varepsilon S}{d_2}$$

Напряжение на обоих конденсаторах одинаковое, $U$. Тогда заряд на первом

$$q_1=C_1U=\frac{\varepsilon SU}{d_1}$$

На втором

$$q_2=C_2U=\frac{\varepsilon SU}{d_2}$$

Ток есть величина заряда, протекшая через сечение проводника, за время $t$. Но насколько уменьшился заряд первого конденсатора, настолько же увеличился заряд второго. Поэтому ток можно представить и как $I=\mid-\frac{dq_1}{dt}\mid$, и как $I=\frac{dq_2}{dt}$ (*).

Попробуем так и определить ток – как производную заряда. Но перепишем для удобства:

$$q_1d_1=\varepsilon SU$$

$$q_2d_2=\varepsilon SU$$

Подставим расстояния как функции времени:

$$q_1(d_0+\upsilon t)=\varepsilon SU$$

$$q_2(d_0-\upsilon t)=\varepsilon SU$$

Слева – производная произведения, справа – ноль:

$$-\frac{dq_1}{dt}(d_0+\upsilon t)+q_1\upsilon=0$$

Минус – так как заряд уменьшается на первом конденсаторе, убывает, поэтому производная отрицательна.

$$\frac{dq_2}{dt}(d_0-\upsilon t)-q_2\upsilon=0$$

Используем условие (*):

$$\frac{ q_1\upsilon }{ d_0+\upsilon t }=\frac{ q_2\upsilon }{ d_0-\upsilon t }$$

$$\frac{ q_1}{ d_0+\upsilon t }=\frac{ q_2}{ d_0-\upsilon t }$$

$$q_2 d_0+q_2\upsilon t= q_1 d_0-q_1\upsilon t$$

$$( q_2-q_1) d_0= -\upsilon t(q_2+q_1)$$

$$( q-q_1-q_1) d_0= -\upsilon t q$$

$$( 2q_1-q) d_0= \upsilon t q$$

$$2q_1d_0-qd_0=\upsilon t q$$

Берем производную:

$$2d_0\frac{dq_1}{dt}=q\upsilon$$

$$ I=\frac{dq_1}{dt}=\frac{q\upsilon}{2d_0}$$

Ответ: $I=\frac{q\upsilon}{2d_0}$

Задача 2.

Сколько витков никелиновой проволоки надо навить на фарфоровый цилиндр диаметром $d_1=1,5$ см, чтобы изготовить кипятильник, в котором за время $\tau=10$ минут закипает вода объемом $V=1,2$ л, взятая при температуре $t=10^{\circ}$ C? КПД установки $\eta=60\%$; диаметр проволоки $d_2=0,2$ мм; напряжение сети $U=100$ В. Удельное сопротивление никелина $\rho=4,2\cdot 10^{-7}$ Ом$\cdot$ м.

Решение. Чтобы закипело такое количество воды, понадобится теплота:

$$Q=c m \Delta t^{\circ}$$

Полезная мощность установки

$$P=\frac{Q}{\tau }=0,6P_0$$

Где $P_0$ - полная мощность, равная, с другой стороны,

$$P_0=\frac{U^2}{R}=\frac{U^2}{\rho\frac{l}{S}}$$

$$P_0=\frac{U^2S}{\rho l}$$

Число витков будет равно

$$N=\frac{l}{\pi d_1}$$

Таким образом,

$$0,6P_0=\frac{0,6U^2S}{\rho l}=\frac{ c m \Delta t^{\circ}}{\tau }$$

Откуда

$$ l=\frac{0,6U^2S\tau }{ c m \Delta t^{\circ}\rho}$$

А число витков тогда

$$N=\frac{0,6U^2S\tau }{ c m \Delta t^{\circ} \rho \pi d_1}$$

$$N=\frac{0,6U^2\pi d_2^2\tau }{ 4c m \Delta t^{\circ} \rho \pi d_1}$$

$$N=\frac{0,6U^2 d_2^2\tau }{ 4c \rho_0 \cdot V \Delta t^{\circ} \rho  d_1}$$

$$N=\frac{0,6\cdot100^2\cdot 0,0002^2\cdot 600 }{ 4\cdot 4200 \cdot 1000\cdot0,0012 \cdot(100-10)\cdot 4,2\cdot 10^{-7}\cdot 0,015}=12,6$$

Ответ: примерно 13 витков.

 

Задача 3.

Какого сечения надо взять медный провод для устройства линии электропередачи от электростанции до потребителя, расположенного на расстоянии $l=1$ км, чтобы передать потребителю мощность $P=8$ кВт? Напряжение на станции $U=130$ В, допустимая потеря напряжения на линии $\beta=8\%$. Удельное сопротивление меди $\rho=1,7\cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$ м.

Решение. Не забываем, что провод надо тянуть не только от станции к потребителю, но и от потребителя к станции, так что длина линии - $2l$.

Так как допустимая потеря напряжения $8\%$, а на станции $U=130$ В, то падение может составить максимально 10,4 В. То есть у потребителя напряжение

$$U_{potr}=U-\Delta U=130-10,4=119,6$$

При мощности 8000 Вт ток у потребителя будет равен

$$I=\frac{P}{ U_{potr}}=\frac{8000}{119,6}=66,9$$

Таким образом, с одной стороны, сопротивление линии

$$R=\frac{\Delta U}{I}$$

С другой стороны,

$$R=\rho\frac{2l}{S}$$

Приравниваем:

$$\frac{\Delta U}{I}=\rho\frac{2l}{S}$$

Откуда искомое сечение

$$S=\frac{2l\cdot I\rho }{\Delta U}=\frac{2\cdot 1000\cdot 1,7\cdot 10^{-8}\cdot 66,9}{10,4}=2,19\cdot 10^{-4}$$

Ответ: $S=2,19\cdot 10^{-4}$

 

Задача 4.

Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в нем закипает через промежуток времени $t_1=10$ мин, а при включении другой – через $t_2=15$ мин. Через сколько времени закипит вода, если обе обмотки включить одновременно: а) параллельно; б) последовательно?

Решение. Одно и то же количество теплоты вода получает от одной обмотки за 10 минут, а от другой – за 15. То есть

$$Q=\frac{U^2}{R_1}t_1=\frac{U^2}{R_2}t_2$$

$$\frac{ t_1}{R_1} =\frac {t_2}{R_2}$$

Включаем обмотки параллельно, их общее сопротивление

$$R_{01}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$

Количество теплоты воде нужно все то же:

$$Q=\frac{U^2}{R_{01}}t_3$$

$$\frac{U^2}{R_1}t_1=\frac{U^2(R_1+R_2)}{R_1R_2}t_3$$

$$t_1 =\frac{R_1+R_2}{R_2}t_3$$

$$ t_3=\frac{R_2}{R_1+R_2} t_1$$

Из первого уравнения

$$ t_3=\frac{R_2}{\frac{t_1R_2}{t_2}+ R_2} t_1$$

$$ t_3=\frac{ t_1}{\frac{t_1}{t_2}+ 1} =\frac{t_1t_2}{t-1+t_2}=\frac{10\cdot 15}{10+15}=6$$

Включаем обмотки последовательно, их общее сопротивление $R_1+R_2$. Количество теплоты, передаваемое воде:

$$Q=\frac{U^2}{R_{02}}t_4$$

$$\frac{U^2}{R_1}t_1=\frac{U^2}{R_1+R_2}t_4$$

$$t_4= (R_1+R_2)\frac{t_1}{R_1}$$

$$t_4= \left(1+\frac{R_2}{ R_1}\right)t_1$$

$$t_4= \left(1+\frac{t_2}{ t_1}\right)t_1=t_1+t_2=25$$

Ответ: при параллельном соединении понадобится $t_3=6$ минут, а при последовательном - $t_4=25$ минут.