Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Высокий уровень. Задачи 67-69

Решаем задачи олимпиад из документа

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 67.

(Всеросс., 2018, РЭ, 9) В рёбра тетраэдра $ABCD$ включены три амперметра с внутренним сопротивлением $R_A = 0,1$ Ом и три вольтметра с внутренним сопротивлением $R_V = 10$ кОм. Определите показания всех приборов при подключении источника с напряжением $U_0 = 1,5$ B: а) к точкам A и D; б) к точкам B и C.

Рисунок к задаче 67

Решение.

а) Если подключиться к точкам $A$ и $D$, то амперметр в данной ветке покажет

$$I_{AD}=\frac{U_0}{R_A}=15$$

Ветки $A-B-D$ и $A-C-D$ совершенно одинаковые, поэтому в них будет какая-то симметрия, но она не приведет к тому, что ток в ветке $BC$ будет отсутствовать – потому что в этих ветках вольтметр и амперметр стоят в разном порядке. Надо учесть, что падения напряжений на амперметрах будут ничтожными по сравнению с падениями напряжений на огромных сопротивлениях вольтметров. Поэтому ими можно пренебречь, когда будем следить за выполнением второго закона Кирхгофа. Предлагаю такое токораспределение:

Распределение токов в цепи

Ток $I$ будет равен

$$I=\frac{U_0}{R_V}=1,5\cdot 10^{-4}$$

$$I_{AB}=I_{CD}=2I=3\cdot 10^{-4}$$

Падения напряжений на амперметрах малы, значит, все вольтметры покажут примерно 1,5 В.

б) Если подключиться к точкам $B$ и $C$, то вольтметр в данной ветке покажет $U_0=1,5$ В. При подключении источника к точкам  $B$ и $C$ для тока образуется «легкий» путь – через все амперметры. Тогда он и будет ограничен только их тремя сопротивлениями:

$$I_{BA}= I_{AD}= I_{DC}=\frac{U_0}{3R_A}=\frac{1,5}{0,3}=5$$

Поэтому на каждом амперметре будет падать $0,5$ В. Тогда вольтметры в ветках $BD$ и $AC$ должны показать по 1 В.

Ответ: а) $I_{AB}=I_{CD}=3\cdot 10^{-4}$ А, $U_{AC}=U_{BC}=U_{BD}=1,5$ В, $I_{AD}=15$ А.

б) $I_{BA}= I_{AD}= I_{DC}=5$ А, $U_{BC}=1,5$ В, $U_{BD}=U_{AC}=1$ В.

Задача 68.

(Всеросс., 2019, РЭ, 9) Миша собрал электрическую цепь, состоящую из идеального источника, двух резисторов, двух амперметров и одного вольтметра. Но второпях он забыл расставить на схеме обозначения приборов, зато точно запомнил, что один из амперметров показывал силу тока $I = 1,0$ мА, а вольтметр — напряжение $U =1,2$ В. Восстановите обозначения приборов. Дайте обоснование. Определите показания второго амперметра, сопротивления резисторов и напряжения источника $U_0$. Все приборы можно считать идеальными.

Рисунок к задаче 68

Решение. Поскольку приборы идеальны, то через вольтметр тока быть не должно. Пусть вольтметр стоит посередине, тогда остальные два - амперметры:

Предлагаемая расстановка приборов

Если правый амперметр показывает ток $I = 1,0$ мА, то второму ничего не остается, как  тоже показывать тот же самый ток (ведь через вольтметр ничего не ответвляется). Тогда вольтметр покажет

$$U=2R\cdot I$$

Откуда

$$2R=\frac{U}{I}=1200$$

Следовательно, на резисторе слева напряжение

$$U_R=IR=0,6$$

И

$$U_0=U+U_R=1,2+0,6=1,8$$

Вольтметр нельзя поставить ни в какое другое место: при этом оба амперметра будут показывать ноль (или оба – одинаково, но тогда вольтметр будет показывать ноль).

Ответ: $U_0=1,8$ В, $I_1=I_2=1$ мА, $R=600$ Ом.

Задача 69.

(Всеросс., 2015, РЭ, 10) Из сплава с линейно изменяющимся от расстояния удельным сопротивлением изготовлены два проводника с вдвое отличающимся сечением. Удельное сопротивление с одной стороны каждого из проводников равно $\rho_1$, а с другой —$\rho_2$. Их противоположными сторонами соединили параллельно и подключили к идеальному источнику с напряжением $U$, а к центрам цилиндров подключили идеальный вольтметр (см. рисунок). Найдите показание $V$ вольтметра.

Рисунок к задаче 69

Решение. Определим сопротивление обоих из резисторов вверху (в верхней ветви)

$$2R_{verh}=2\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\cdot \frac{L}{2S}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\cdot \frac{L}{S}$$

Теперь в нижней ветке:

$$2R_{niz}=2\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\cdot \frac{L}{S}=(\rho_1+\rho_2)\cdot \frac{L}{S}$$

Определим ток в верхней ветке:

$$I_{verh}=\frac{U}{2R_{verh}}=\frac{U\cdot 2S}{l(\rho_1+\rho_2)}$$

Ток в нижней ветке:

$$I_{ niz }=\frac{U}{2R_{ niz }}=\frac{U\cdot S}{l(\rho_1+\rho_2)}$$

Определим сопротивление правого резистора в верхней ветви:

$$R_1=\left(\frac{\rho_1+\rho_2}{2}-\rho_1\right)\cdot\frac{l}{2S}=\frac{\rho_2-\rho_1}{2}\cdot\frac{l}{2S}$$

Определим сопротивление правого резистора в нижней ветви:

$$R_2=\left(\rho_2-\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\right)\cdot\frac{l}{S}=\frac{\rho_2-\rho_1}{2}\cdot\frac{l}{S}$$

Определяем падения напряжения на этих резисторах:

$$U_{R1}= I_{verh}R_1=\frac{U\cdot 2S}{l(\rho_1+\rho_2)}\cdot \frac{\rho_2-\rho_1}{2}\cdot\frac{l}{2S}=\frac{U(\rho_2-\rho_1)}{ \rho_2+\rho_1}$$

$$U_{R2}= I_{niz}R_2=\frac{U\cdot S}{l(\rho_1+\rho_2)}\cdot \frac{\rho_2-\rho_1}{2}\cdot\frac{l}{S}=\frac{U(\rho_2-\rho_1)}{2( \rho_2+\rho_1)}$$

Тогда показания вольтметра:

$$V= U_{R1}- U_{R2}=\frac{U(\rho_2-\rho_1)}{2( \rho_2+\rho_1)}$$

Ответ: $V=\frac{U(\rho_2-\rho_1)}{2( \rho_2+\rho_1)}$