Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Высокий уровень. Задачи 63-66

Решаем задачи олимпиад из документа 

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 63.

(Всеросс., 2011, РЭ, 9) У экспериментатора Глюка и теоретика Бага было пять идеальных амперметров и пять идеальных вольтметров. Они соединили последовательно амперметры и вольтметры, а затем подключили к ним резисторы сопротивлениями $R_1 = 1$ кОм, $R_2 = 2$ кОм, $R_3 = 3$ кОм, $R_4 = 4$ кОм, $R_5 = 5$ кОм, $R_6 = 6$ кОм. В результате получились электрические цепи, изображённые на рисунках, которые подключили к источнику постоянного напряжения $U_0 = 12$ В. 1) Определите показания вольтметров $V_1, V_2$ и амперметров $A_1, A_2, A_3$ в схеме Глюка. В какую сторону отклонятся стрелки приборов (рисунок справа), если при подключении их клемм, помеченных символом (+) к положительному выводу батареи, а клемм, помеченных символом (−), — к отрицательному выводу батареи, стрелка отклоняется вправо? 2) Определите показания вольтметров $V_3, V_4, V_5$ и амперметров $A_4$ и $A_5$ в схеме Бага. В какую сторону отклонятся стрелки в этом случае?

Рисунок к задаче 63

Решение. Идеальные вольтметры – разрывы цепи, идеальные амперметры – перемычки без сопротивления. Поэтому первая схема на самом деле такая:

Разорвали вольтметры, замкнули амперметры

То есть $R_1$ и $R_3$ соединены последовательно, и к ним в параллель - $R_2$. Сопротивление ветви $R_1-R_3$ равно 4 кОм, она подключена к источнику и ток в этой ветке 3 мА, ток в резисторе $R_2$, который тоже подключен непосредственно к источнику – 6 мА, так как его сопротивление вдвое меньше, чем сцепки $R_1-R_3$. Вернув мысленно амперметры $A_1$ и $A_3$ на место, понимаем, что оба они и будут показывать ток в резисторе $R_2$, то есть 6 мА. Амперметр $A_2$ будет показывать ток в верхней ветке, то есть через  сцепку $R_1-R_3$, этот ток равен 3 мА. Но  ток через прибор течет справа налево, то есть это условные (-3) мА.

Первый вольтметр оказывается подключен параллельно $R_1$, и покажет напряжение на нем – то есть 3 В. А второй – напряжение на $R_3$ - то есть 9 В.

Проделаем ту же процедуру во второй схеме:

Разорвали вольтметры (ветви с ними), замкнули амперметры

Сразу становится понятно, как протекает ток.

$$I=\frac{U}{R_1+R_2+R_3}=\frac{12}{15000}=0,8\cdot 10^{-3}$$

Этот ток и покажут оба амперметра.

$V_4$ покажет напряжение на пятом резисторе: $U_{R5}=I\cdot R_5=4$ В. Но ток течет «в обратном»  направлении через это сопротивление, поэтому (-4) В.

Пятый вольтметр подключен параллельно $R_5$ и $R_6$, и покажет суммарное напряжение на них:

$$U_5=(5000+6000)\cdot 0,8\cdot 10^{-3}=8,8$$

А третий вольтметр подключен параллельно $R_4$ и $R_5$, и покажет суммарное напряжение на них:

$$U_3=(4000+5000)\cdot 0,8\cdot 10^{-3}=7,2$$

Ответ: $I_1=I_3=6$ мА, $I_2=-3$ мА, $U_1=3$ В, $U_2=9$ В.

$I_4=I_5=0,8$ мА, $U_3=7,2$ В, $U_5=8,8$ В, $U_4=-4$ В.

Задача 64.

(Всеросс., 2013, РЭ, 9) Электрическая цепь (см. рисунок) состоит из двух одинаковых вольтметров и двух амперметров. Их показания: $U_1 = 10,0$ В, $U_2 = 10,5$ В, $I_1 = 50$ мА, $I_2 = 70$ мА соответственно. Определите сопротивление резистора $R$. (Получите для R общую алгебраическую формулу.)

Рисунок к задаче 64

Решение. В задаче – ни слова про идеальность приборов. Значит, амперметры имеют сопротивления, пусть малые, а через сопротивления вольтметров может течь ток, пусть и небольшой. Тогда

$$U_2-U_1=Ir$$

Где $r$ - сопротивление амперметра.

$$(I_2-I_1)R_V=U_2$$

И

$$\frac{U_1}{R_V}+\frac{U_1}{R}=I_1$$

$$U_1\left(\frac{ 1}{R_V}+\frac{ 1}{R}\right)=I_1$$

$$\frac{I_1}{U_1}=\frac{ 1}{R_V}+\frac{ 1}{R}$$

$$\frac{ 1}{R}=\frac{I_1}{U_1}-\frac{ 1}{R_V}=\frac{I_1}{U_1}-\frac{I_2-I_1}{U_2}=\frac{I_1U_2-(I_2-I_1)U_1}{U_1U_2}$$

Откуда

$$R=\frac{U_1U_2}{I_1U_2-(I_2-I_1)U_1}=\frac{10\cdot 10,5}{0,05\cdot10,5-0,02\cdot 10}=323$$

Ответ: $R=323$ Ом.

Задача 65.

(Всеросс., 2015, РЭ, 9) Из четырёх одинаковых амперметров собрали электрическую цепь (см. рисунок), которую подключили к источнику с небольшим напряжением. Определите силу тока, текущего через перемычку АВ (сопротивление перемычки и соединительных проводов много меньше сопротивления амперметра), если сумма показаний всех амперметров I0 = 49 мА.

Рисунок к задаче 65

Решение. Перерисуем схему так:

И теперь еще так:

Теперь сразу же все понятно про эту схему! Пусть через амперметры, включенные между точками $A$ и $C$, текут токи  $x$. Тогда от $C$ к $D$ потечет ток $2x$ (как сумма двух предыдущих), а от точки $B$ к $D$ - $3x$, так как на параллельных ветвях должны быть равные напряжения (сопротивление верхней ветки $1,5r$, ток - $2x$, напряжение - $3rx$).

Сумма показаний амперметров –

$$x+x+2x+3x=7x=49$$

$$x=7$$

Из последнего рисунка понятно, что по перемычке $AB$ течет ток $4x=28$ мА.

Ответ: 28 мА.

Задача 66.

(Всеросс., 2016, РЭ, 9) Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением $R$. Два резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Какие резисторы из оставшихся можно убрать, чтобы это не изменило общего сопротивления системы? 3) Вычислите силу тока в проводе, подсоединённом к узлу A (или B), если известно, что через большинство резисторов в цепи течет ток $I = 2$ А. 4) Вычислите силу тока, текущего через идеальную перемычку $AA^{‘}$.

Рисунок к задаче 66

Решение. Сразу находим точки равного потенциала. Через резисторы, включенные между этими точками, тока нет:

Убрали сопротивления между точками равного потенциала

Далее легко определяем токораспределение в схеме:

Входной ток, таким образом, $4I=4\cdot 2=8$ А.

Ответ: 8 А.