Задачи олимпиад. Цепи и измерительные приборы. Высокий уровень. Задачи 59-62

Решаем задачи олимпиад из документа 

Это листок, составленный И.В. Яковлевым. Некоторые рисунки взяты из этого же документа. Нумерация задач совпадает с документом.

Задача 59.

(Всеросс., 2007, ОЭ, 8) Электрическая цепь состоит из нескольких сборок резисторов, соединённых последовательно по схеме (рис.). Сборка номер $n$ состоит из $n$ соединённых параллельно резисторов, сопротивления которых пробегают ряд значений от $R$ до $\frac{R}{n}$, где $R = 6$ кОм. Напряжение на батарейке $U = 12$ В. Вычислите силу тока $I_n$ через амперметр для одного или нескольких значений $n$ из диапазона от 1 до 10. Примечание. Число баллов за задачу равно максимальному $n$ из указанного диапазона, для которого $I_n$ подсчитано верно.

Рисунок к задаче 59

Решение.

Понятно, что предстоит иметь дело с прогрессиями. Посмотрим на горизонтальный ряд резисторов:

$$R+\frac{R}{2}+\frac{R}{3}+\frac{R}{4}\ldots+\frac{R}{n}$$

И таких прогрессий $n$ штук, да еще в каждой на один член меньше… С точки зрения расчета, конечно, имеем дело с параллельными соединениями. В $n$-ном столбце проводимость будет равна

$$g_n=\frac{1}{R}+\frac{2}{R}+\frac{3}{R}+ \ldots+ \frac{n}{R}$$

То есть

$$g_n=\frac{1}{R}\cdot (1+2+3+\ldots+ n)$$

Это уже выглядит получше. В скобках - арифметическая прогрессия с разностью 1 и первым членом 1. Сумма членов такой прогрессии

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2+(n-1)}{2}\cdot n=\frac{(n+1)n}{2}$$

Или

$$g_n=\frac{1}{R}\frac{(n+1)n}{2}$$

Ну а сопротивление тогда

$$R_n=\frac{2R}{n(n+1)}$$

Понятно, что такого вида сопротивления соединены последовательно и их надо складывать. Если начать их вычислять, то при $n=1$ получим $R_1=R$, при $n=2$ - $R_2=\frac{R}{3}$, далее при $n=3$ - $R_3=\frac{R}{6}$, при $n=4$ - $R_4=\frac{R}{10}$... Кстати, интересно, что ряд чисел 1,3, 6, 10, 15, 21 и т.д. состоит из так называемых треугольных чисел:

Треугольные числа

Эти числа обладают рядом интересных свойств, погуглите. Но пока это знание не приближает к решению. А приблизит нас к решению вот такое преобразование:

 $$R_n= 2R \cdot \frac{1}{n(n+1)}=2R\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

Вот теперь понятно, что при сложении сопротивлений получим:

$$R_{sum}=R_1+R_2+R_3+\ldots+ R_n$$

$$R_{sum}=2R\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}+\ldots \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$

Заметим, что все «внутренние» слагаемые сокращаются. Остаются только «внешние»:

$$R_{sum}=2R\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right)=2R\cdot \frac{n+1-1}{n+1}=\frac{2Rn}{n+1}$$

Ток в цепи с таким сопротивлением равен

$$I=\frac{U}{ R_{sum}}=\frac{U(n+1)}{2Rn}$$

Для $n=10$ имеем:

$$I_{10}=\frac{12(10+1)}{2\cdot 6000\cdot 10}=0,0011$$

А при $n=\infty$

$$I=\frac{U}{ R_{sum}}=\frac{U(n+1)}{2Rn}=\frac{Un}{2Rn}+\frac{U}{2Rn}=\frac{U}{2R}=0,001$$

Ответ: $I=\frac{U(n+1)}{2Rn}$, $I_{10}=0,0011$ А.

Задача 60.

(Всеросс., 1992, ОЭ, 9) В схеме, изображённой на рисунке, амперметр $А_1$ показывает силу тока $I_1$. Какую силу тока показывает амперметр $A_2$? Оба прибора идеальны. Отмеченные на рисунке параметры цепи считайте известными.

Рисунок к задаче 60

Решение. Наша задача – найти такое распределение токов, чтобы оба закона Кирхгофа выполнялись для всех узлов и контуров. Предположим из соотношения сопротивлений, что $I_1=\frac{I_x}{3}$, а $I_2=I_y$. (Эти равенства будут точно выполнены при $R_x=0$). Кроме того, $I_x+I_1=I_2+I_y$. Тогда

Распределение токов в цепи

Проверяем второй закон:

$$U=I_x R+U_x+I_yR=I_1\cdot 3R-U_x+I_2R$$

Здесь $U_x$ - падение напряжения на неизвестном резисторе.

При подстановке наших предполагаемых значений

$$ 3I_1 R+U_x+2I_1R=I_1\cdot 3R-U_x+2I_1R$$

Получаем

$$U_x=-U_x$$

Что выполнится лишь при $R_x=0$.

Так как подобранное распределение токов не противоречит обоим законам Кирхгофа и данным задачи, оно и есть верное.

Ответ: $I_2=2I_1$.

Задача 61.

(Всеросс., 2001, ОЭ, 9) В схеме, изображённой на рисунке, все вольтметры одинаковые, а их внутреннее сопротивление много больше всех остальных сопротивлений цепи. Найдите показания вольтметров, если сопротивление каждого из резисторов $R = 10$ Ом, а напряжение на входе цепи $U = 4,5$ В.

Рисунок к задаче 61

Решение. Так как вольтметры имеют очень большие сопротивления, то и токи через них будут очень малы по сравнению с токами в резисторах. Настолько малы, что пока пренебрежем ими. Тогда на всех резисторах напряжения по 1,5 В. И токи через резисторы равны 0,15 А.

В контуре из резистора и двух вольтметров обязан быть соблюден второй закон Кирхгофа:

$$U_R=U_{V3}+ U_{V2}$$

А в точке соединения вольтметров – первый закон Кирхгофа:

$$I_{V3}=I_{V1}+I_{V2}$$

Напряжения в цепи

Тогда, если

$$ I_{V1}=I_{V2}=I$$

И $I_{V3}=2I$, то $ U_{V1}= U_{V2}=0,5$ В, $U_{V3}=1$ В.

Тогда, каким бы путем мы ни продвигались от  плюса источника к минусу, мы наберем падений напряжений на 4,5 В. А это значит, что распределение токов и напряжений подобрано верно.

Ответ: $ U_{V1}= U_{V2}=0,5$ В, $U_{V3}=1$ В.

Задача 62.

(Всеросс., 2010, РЭ, 9) В электрической цепи (см. рисунок) сила тока, проходящего через резистор $R_3$, равна 1 мА. Сопротивления резисторов $R_1 = 1$ кОм, $R_3 = 3$ кОм. Перерисуйте рисунок в свою тетрадь и укажите на нём направления токов, идущих через резисторы. Чему равно напряжение $U$ батарейки? На сколько миллиампер отличаются показания амперметров A1 и A2? Амперметры считайте идеальными.

Рисунок к задаче 62

Решение. Пусть через первый амперметр течет ток $x$, а через второй - $y$. Тогда

$$x=I_{R3}+ I_{R2}$$

$$y= I_{R2}+ I_{R1}$$

Выражая $I_{R2}$ и приравнивая, получаем

$$y+ I_{R1}=x- I_{R3}$$

Распределение токов в цепи

Или

$$y-x= I_{R1}- I_{R3}$$

Так как амперметры идеальны, то ветви с ними – просто перемычки. А они сопротивлениями не обладают. Поэтому все резисторы включены параллельно!!! И напряжение

$$U=U_{R3}=3$$

Тогда $I_{R1}=3$ мА.

И $y-x= I_{R1}- I_{R3}=2$ мА.

Ответ: $U=3$ В, показания отличаются на 2 мА.