Сопротивления сложных схем

Решаем задачи из учебника Мякишева и Синякова для углубленного уровня, 10 класс (упражнение 5).

Задача 1.

Какое сопротивление $r$ необходимо включить между точками $C$ и $D$, чтобы сопротивление всей цепочки (между точками $A$ и $B$) не зависело от числа элементарных ячеек?

Рисунок к задаче 1

Решение. Так как количество ячеек не важно, то это может быть и ноль ячеек  (то есть точки $A$ и $B$ будут вместо точек $C$ и $D$), и  одна ячейка – тогда точки $A$ и $B$ будут вместо точек $E$ и $F$.

В первом случае сопротивление схемы равно $r$, а во втором

Часть схемы для определения сопротивления

$$R_{AB}=\frac{R(2R+r)}{3R+r}$$

Так как в обоих случаях сопротивления равны, то

$$\frac{R(2R+r)}{3R+r}=r$$

$$2R^2+rR=3rR+r^2$$

$$r^2+2rR-2R^2=0$$

Уравнение квадратное, его дискриминант

$$D=4R^2+8R^2=12R^2$$

Корни

$$r=\frac{-2R\pm 2R\sqrt{3}}{2}=-R\pm R\sqrt{3}=R(\sqrt{3}-1)$$

Ответ: $r= R(\sqrt{3}-1)=0,73R$

Задача 2.

Найдите сопротивление тетраэдра (правильной треугольной пирамиды), изготовленного из шести проволочек сопротивлением $R$ каждая. Подводящие провода присоединены к любым двум вершинам тетраэдра.

Рисунок к задаче 2

Решение. Посмотрим на тетраэдр с другого ракурса:

С другой точки зрения

Тогда точки  $D$ и $C$ - точки равного потенциала и ток в проводе $DC$ не течет. Схема упрощается!

Убрали нерабочие сопротивления

Расставим токи, помня, что сопротивления проволочек одинаковы. Используем при этом второй закон Кирхгофа.

Расставили токи, пользуясь обоими законами Кирхгофа

И, наконец, определяем сопротивление. Для этого падение напряжения на участке $AB$ делим на входной ток:

$$R_{AB}=\frac{2I\cdot R}{4I}=\frac{R}{2}$$

Ответ: $R_{AB}=\frac{R}{2}$

Задача 3.

Найдите сопротивление $R_0$ пятиконечной звезды, показанной на рисунке, все участки которой обладают сопротивлением $r$. Подводящие провода подсоединены к точкам А и К.

Рисунок к задаче 3

Решение. Рыжим зачеркнут резистор, включенный между точками равного потенциала. Через него ток не течет. Далее пытаемся расставить токи так, чтобы соблюдались оба Кирхгофа. Пусто ток $I$ протекает так, как показано:

Убрали неиспользуемое сопротивление

Тогда «красный» ток должен быть $2I$ (по второму закону Кирхгофа), а «синий» - $3I$ (по первому).

Начинаем расстановку токов. Обычно с периферии

Дальше просто:

Заканчиваем расстановку токов с помощью обоих законов Кирхгофа

Чтобы определить сопротивление, проходим от точки входа до точки выхода любым путем и «собираем» падения напряжения, а затем делим падение напряжения на входной ток:

$$R_{AK}=\frac{7IR}{6I}=\frac{7R}{6}$$

Ответ: $R_{AK}=\frac{7R}{6}$