Пример расчета цепи методом наложения

Задача.

На рисунке приведена схема. Внутренние сопротивления источников пренебрежимо малы. Определите силу тока через резистор $3R$, силу тока через источник с ЭДС $4\varepsilon$, разность потенциалов между точками А и В схемы.

Рисунок к задаче

Решение. Решать будем методом наложения. Для этого мы сначала оставим в цепи один источник, а второй закоротим (то есть заменим на отрезок провода), рассчитаем токи в полученной цепи. Затем наоборот, первый закоротим, а второй оставим в цепи. Тоже рассчитаем токи во всех ветвях. В обоих случаях мы получим частичные токи (токи, которые возникают в цепи вследствие присутствия в ней данного - одного – источника). Затем эти токи в каждой ветви необходимо будет сложить (но с учетом их направлений). Делаем!

Если источник $\varepsilon$ закоротить и оставить в схеме только $4\varepsilon$, имеем схему:  

Оставили первый источник в схеме, вт орой закорочен

Общее сопротивление левой части -$\frac{R}{2}$, правой - $\frac{3R}{4}$ Поэтому напряжение $4\varepsilon$ разделится в отношении 2:3, и на левой части будет $1,6\varepsilon$, а на правой - $2,4\varepsilon$. Расставим токи:

Определили токи в полученной схеме

Теперь закоротим источник $4\varepsilon$. Имеем схему:

Закоротили второй источник

Перерисуем ее иначе, удобнее для расчета:

Перерисуем более удобно для восприятия

Общее сопротивление левой части -$\frac{3R}{4}$, правой - $\frac{R}{2}$ Поэтому напряжение $\varepsilon$ разделится в отношении 3:2, и на левой части будет $0,6\varepsilon$, а на правой - $0,4\varepsilon$. Расставим токи:

Определили частичные токи во второй схеме

Теперь «собираем токи». Для этого надо ориентироваться на исходную схему, где мы обознначим направления токов и их номера:

Исходные, искомые токи в схеме

Частичный ток в первой схеме  $\frac{1,6\varepsilon}{R}$ совпадает по направлению с $I_1$, а вот частичный ток $\frac{0,6\varepsilon}{R}$ - направлен противоположно, поэтому ток $I_1$ - их разность:

$$I_1=\frac{1,6\varepsilon}{R}-\frac{0,6\varepsilon}{R}=\frac{\varepsilon}{R}$$

Частичные токи в обеих схемах совпали по направлению с $I_2$, поэтому он - их сумма.

$$I_2=\frac{2,4\varepsilon}{3R}+\frac{0,6\varepsilon}{3R}=\frac{\varepsilon}{R}$$

Аналогично - ток $I_3$, он сумма своих частичных токов:

$$I_3=\frac{1,6\varepsilon}{R}+\frac{0,4\varepsilon}{R}=\frac{2\varepsilon}{R}$$

Частичные токи, образующие $I_4$, также направлены противоположно:

$$I_4=\frac{2,4\varepsilon}{R}-\frac{0,4\varepsilon}{R}=\frac{2\varepsilon}{R}$$

Чтобы не запутаться при "сборке" токов, надо расставить на схеме опорные точки, и смотреть, от какой точки ток течет, и к какой.

Ответ: через резистор $3R$ течет ток $I_2$, $I_2=\frac{\varepsilon}{R}$, через источник с ЭДС $4\varepsilon$ течет ток $I_4+I_2=\frac{3\varepsilon}{R}$, разность потенциалов между точками А и В равна $\varphi=I_1R+\varepsilon=2\varepsilon$.