Измерительные приборы. КПД цепи

Решаем задачи из учебника Мякишева и Синякова для углубленного уровня, 10 класс (упражнение 6).

Задача 1.

Вольтметр с внутренним сопротивлением $R=1800$ Ом подключают к источнику тока сначала параллельно резистору $R_1=120$ Ом, а затем последовательно с резистором сопротивлением $R_2=200$ Ом. Чему равно внутреннее сопротивление $r$ источника тока, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы?

Параллельное подключение вольтметра и резистора.

Последовательное подключение вольтметра и резистора

Решение. В первом случае вольтметр покажет

$$U_V=\varepsilon-Ir$$

Ток, текущий через источник, разделится: часть потечет через резистор, часть – через вольтметр. Эти токи будут относиться как

$$\frac{I_R}{I_V}=\frac{R}{R_1}=\frac{1800}{120}=\frac{15}{1}$$

Таким образом, на вольтметр отделится $\frac{1}{16}I$. И он покажет (с другой точки зрения)

$$U_V=\frac{I}{16}\cdot R$$

$$I=\frac{\varepsilon }{ r+\frac{R_1R}{R_1+R}}$$

Если рассмотреть второй случай, когда резистор $R_2$ подключен последовательно,

$$I^{*}=\frac{\varepsilon }{r+R+R_2}$$

$$U_V=I^{*}R=\frac{\varepsilon R}{r+R+R_2}$$

Приравниваем показания вольтметра в первом и во втором случаях:

$$\frac{1}{16}\cdot \frac{\varepsilon R}{ r+\frac{R_1R}{R_1+R}}=\frac{\varepsilon R}{r+R+R_2}$$

$$\frac{1}{ r+\frac{R_1R}{R_1+R}}=\frac{16}{r+R+R_2}$$

$$ r+R+R_2=16 \left(r+\frac{R_1R}{R_1+R}\right)$$

$$ r+2000=16 \left(r+112,5\right)$$

$$ r+2000=16r+1800$$

$$15r=200$$

$$r=\frac{40}{3}$$

Ответ: $r=\frac{40}{3}$.

Задача 2.

К источнику тока подключают сначала резистор сопротивлением $R=3$ Ом, а затем последовательно с этим резистором резистор, сопротивление которого в $m=20$ раз больше. При этом коэффициент полезного действия увеличился в $n=2$ раза. Чему равно внутреннее сопротивление $r$ источника тока?

Решение. Коэффициент полезного действия – это отношение мощности, выделяемой в нагрузке, к полной мощности, выделяемой во всей цепи. Сначала ток в цепи равен

$$I=\frac{\varepsilon }{R+r}$$

Полезная мощность

$$P=I^2R=\frac{\varepsilon^2 R}{(R+r)^2}$$

Мощность во всей цепи

$$P_0=I^2(R+r)= \frac{\varepsilon^2 }{R+r}$$

И КПД:

$$\eta=\frac{P}{P_0}=\frac{R}{R+r}$$

Затем подключают дополнительный резистор $20R$. Ток становится равен

$$I_1=\frac{\varepsilon }{21R+r}$$

Полезная мощность

$$P_1=I_1^2\cdot 21R=\frac{\varepsilon^2 \cdot 21R}{(21R+r)^2}$$

Мощность во всей цепи

$$P_{01}=I_1^2(21R+r)= \frac{\varepsilon^2 }{21R+r}$$

И КПД:

$$\eta_1=\frac{P_1}{P_{01}}=\frac{21R}{21R+r}$$

По условию

$$\eta_1=2\eta$$

$$\frac{21R}{21R+r}=2\cdot \frac{R}{R+r}$$

$$\frac{21}{21R+r}=\frac{2}{R+r}$$

$$21R+21r=42R+2r$$

$$19r=21R$$

$$r=\frac{21R}{19}=\frac{63}{19}=3,3$$

Ответ: 3,3 Ом