Источники

Задача 1.

Источник тока с ЭДС, равной $E=2,1$ В и внутренним сопротивлением $r=0,2$ Ом соединен с реостатом. Определить силу тока в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на зажимах источника равно 2 В. Какой длины надо взять для изготовления реостата железную проволоку, если площадь ее сечения $S=0,75$ мм$^2$?

Решение. Так как ЭДС больше, чем напряжение на источнике, на 0,1 В, то это и есть напряжение на внутреннем сопротивлении источника. А значит, мы можем найти ток:

$$I=\frac{U_r}{r}=\frac{0,1}{0,2}=0,5$$

Напряжение на зажимах источника – это и есть напряжение на реостате. А ток, текущий через реостат, мы нашли. Тогда его сопротивление равно:

$$R=\frac{U_R}{I}=\frac{2}{0,5}=4$$

Общая формула для определения сопротивления:

$$R=\rho\frac{l}{S}$$

$$l=\frac{RS}{\rho}$$

У железа удельное сопротивление равно $\rho=0,1$ Ом$\cdot$ мм$^2$/м.

$$l=\frac{4\cdot0,75}{0,1}=30$$

Ответ: 30 м.

Задача 2.

Дано $N=48$ элементов с ЭДС $E=1,5$ В и внутренним сопротивлением $r=0,4$ Ома каждый. Как надо соединить элементы, чтобы получить наибольшую силу тока во внешней цепи, если внешнее сопротивление $R=0,3$ Ома?

Решение. Мы совсем не знаем, как соединять элементы. Может, все последовательно? Тогда сопротивление получится большим. Может, все параллельно? Тогда ЭДС окажется небольшой. Пусть будет $n$ рядов по $k$ штук в ряду. Такой источник будет обладать ЭДС $E_x$, которую мы пока не знаем, и сопротивлением $r_x$. Ток в цепи будет равен

$$I=\frac{E_x}{r_x+R}$$

Число рядов равно

$$n=\frac{N}{k}$$

Так как $k$ элементов в одном ряду соединены последовательно, то

$$E_x=kE$$

Общее внутреннее сопротивление всех элементов в одном ряду равно $kr$, и таких сопротивлений соединено параллельно $n$ штук. А когда одинаковые сопротивления соединены параллельно, то их общее эквивалентное сопротивление в $n$ раз меньше:

$$r_x=\frac{kr}{n}=\frac{kr}{\frac{N}{k}}=\frac{k^2r}{N}$$

Подставляем в выражение для тока:

$$I=\frac{kE}{\frac{k^2r}{N}+R}=\frac{kEN}{k^2r+RN}$$

Чтобы найти максимум, возьмем производную по $k$:

$$\frac{dI}{dk}=\frac{EN(k^2r+RN)-kEN\cdot 2kr}{(k^2r+RN)^2}$$

$$ EN(k^2r+RN)-kEN\cdot 2kr=0$$

$$ (k^2r+RN)-k\cdot 2kr=0$$

$$ k^2r+RN-2k^2r=0$$

$$ k^2r=RN$$

$$k=\sqrt{\frac{RN}{r}}=\sqrt{\frac{0,3\cdot 48}{0,4}}=\sqrt{36}=6$$

Следовательно, число рядов $n=8$, а наибольший ток в цепи

$$I=\frac{kEN}{k^2r+RN}=\frac{6\cdot 1,5\cdot 48}{36\cdot0,4+48\cdot 0,3}=15$$

Ответ: элементы соединяем в 8 рядов по 6 штук в ряд, наибольший ток в цепи при таком соединении составит 15 А.

Задача 3.

Имеются два одинаковых элемента c ЭДС $E=2$ В и внутренним сопротивлением $r=0,3$ Ома. Как надо соединить эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы получить больший ток, если внешнее сопротивление а) $R_a=0,2$ Ом; б) $R_b=16$ Ом? Найти ток в каждом случае.  

Решение. Соединяем источники последовательно. Эквивалентный источник будет иметь ЭДС $E_1=4$ В и внутреннее сопротивление $r_1=2r=0,6$ Ом. Ток в цепи при $R_a=0,2$ Ом:

$$I_{1a}=\frac{E_1}{r_1+R_a}=\frac{4}{0,6+0,2}=5$$

Ток в цепи при $R_b=16$ Ом:

$$I_{1b}=\frac{E_1}{r_1+R_b}=\frac{4}{0,6+16}=0,241$$

Соединяем источники параллельно. Эквивалентный источник будет иметь ЭДС $E_2=2$ В и внутреннее сопротивление $r_2=\frac{r}{2}=0,15$ Ом. Ток в цепи при $R=0,2$ Ом:

$$I_{2a}=\frac{E_2}{r_2+R_a}=\frac{2}{0,15+0,2}=5,71$$

Ток в цепи при $R_b=16$ Ом:

$$I_{2b}=\frac{E_2}{r_2+R_b}=\frac{2}{0,15+16}=0,124$$

Ответ: при параллельном соединении источников и $R_a=0,2$ Ом $I_{1a}=5$ А; при параллельном соединении источников и $R_b=16$ Ом $I_{1b}=0,241$ А;  при последовательном соединении источников и $R_a=0,2$ Ом $I_{2a}=5,71$ А; при последовательном соединении источников и $R_b=16$ Ом $I_{2b}=0,124$ А.

Задача 4.

Аккумулятор заряжается от сети с напряжением $U=13$ В током $I_1=5$ А. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора,  если при замыкании его на внешнее сопротивление $R=20$ Ом в цепи течет ток $I_2=0,5$ А.

Решение. Для второго случая можно записать:

$$I_2=\frac{E}{R+r}$$

$$0,5=\frac{E}{20+r}$$

Для первого случая (зарядка), согласно второму закону Кирхгофа:

$$I_1r=U-E$$

$$E=U-I_1r=13-5r$$

Подставим в первое уравнение:

$$0,5=\frac{ 13-5r }{20+r}$$

$$13-5r=10+\frac{r}{2}$$

$$5,5r=3$$

$$r=\frac{6}{11}$$

$$E=13-5r=13-\frac{30}{11}=10,3$$

Ответ: $E=10,3$ В, $r=0,55$ Ом.

Задача 5.

Две группы из трех последовательно соединенных элементов соединены параллельно. ЭДС каждого элемента $E=1,2$ В, внутреннее сопротивление $r=0,2$ Ом. Батарея замкнута на внешнее сопротивление $R=1,5$ Ом. Найти силу тока во внешней цепи.

Решение. Так как известно, что три элемента соединены последовательно, то их общая ЭДС равна 3,6 В, а общее внутреннее сопротивление равно 0,6 Ом. Теперь соединим два таких источника параллельно. Внутреннее сопротивление такого элемента 0,3 Ом, а ЭДС – 3,6 В!  Тогда ток

$$I=\frac{E_0}{r_0+R}=\frac{3,6}{0,3+1,5}=2$$

Ответ: 2 А.