Переменный ток

"Стартовые" задачи по теме "переменный ток". Познакомимся с понятиями индуктивного и емкостного сопротивлений, полного сопротивления, узнаем, что такое амплитудное и действующее значение тока и напряжения.

Задача 1.

В цепь переменного тока последовательно включены конденсатор, резистор и катушка индуктивности. Как соотносятся по фазе колебания напряжения на этих элементах от фазы колебаний силы тока в цепи?

А) $U_C$   на обкладках конденсатора;

Б) $U_R$ на зажимах резистора;

В) $U_L$ на зажимах катушки.
1) отстают-по фазе от силы тока на $\frac{\pi}{2}$;

2) опережают по фазе силу тока на $\frac{\pi}{2}$;

3) совпадают по фазе с колебаниями силы тока;
4) опережают по фазе силу тока на катушки на некоторый угол $\alpha$.

Ток и напряжение в резисторе совпадают по фазе, всегда.
Чтобы хорошо запомнить, как соотносятся фазы напряжения и тока в реактивных элементах (катушке и конденсаторе), я даже для студентов своих стишок придумала:

«Каждый студент – запомни твердо!

От этого твой зависит зачет!

В емкости ток – опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Ответ: 132

Задача 2.

Катушка с ничтожно малым активным сопротивлением включена в  цепь переменного тока с частотой 50 Гц. При напряжении 125 В сила тока равна 3 А. Какова индуктивность катушки?
Определим  угловую частоту:

$$\omega=2\pi \nu=6,28 \cdot50=314$$

Индуктивное сопротивление катушки:

$$x_L=\omega L$$

По закону Ома:

$$U=Ix_L=I\omega L$$

$$L=\frac{U}{ I\omega }=\frac{125}{3\cdot314}=0,13$$

Ответ: $L=0,13$ Гн.

Задача 3.

  Амплитудные значения напряжения и тока на резисторе соответственно равны  $U_m=100$ В, $I_m=2$ А. Какая средняя мощность выделится  резисторе этой цепи?

Средняя мощность вычисляется по формуле:

$$P=UI\cos{\phi}$$

Где $U$ и $I$ - действующие значения тока и напряжения (они в $\sqrt{2}$ раз меньше амплитудных), а $\phi$ - угол сдвига фаз напряжения и тока. Для резистора $\phi=0$. Тогда

$$P=\frac{I_m}{\sqrt{2}}\cdot\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{I_mU_m}{2}=\frac{100\cdot2}{2}=100$$

Ответ: 100 Вт.

Задача 4.

Напряжение на резисторе в цепи переменного тока изменяется по закону $U = 140\cos 100\pi t$, В. Чему равно действующее значение напряжения?

Действующие значения тока и напряжения  в $\sqrt{2}$ раз меньше амплитудных:

$$u(t)=U_m\cos 100\pi t$$

$$U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{140}{1,41}=100$$

Ответ: 100 В.

Задача 5.

Найдите активное сопротивление электрической лампы, включенной в цепь переменного тока с действующим напряжением 220 В, если при этом на ней выделяется средняя мощность 200 Вт.

$$P=I^2R=\frac{U^2}{R}=200$$
$$R=\frac{U^2}{P}=\frac{220^2}{200}=242$$

Ответ: 242 Ом.

Задача 6.

Чему равна амплитуда силы тока в цепи переменного тока частотой 50 Гц, содержащей последовательно соединенные активное сопротивление $R = 2$ кОм и конденсатор емкости С = 1 мкФ, если действующее значение напряжения сети, к которой подключен участок цепи, равно 220 В?
По закону Ома

$$U_m=I_m\cdot \mid z \mid$$

$$\mid z \mid=\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}=\sqrt{2000^2+\frac{1}{(2\pi \cdot50\cdot10^{-6})^2}}=3759$$

$$I_m=\frac{U_m}{\mid z \mid}=\frac{U\sqrt{2}}{\mid z \mid}=\frac{220\cdot\sqrt{2}}{3759}=0,082$$

Ответ: 82 мА

Задача 7.

Какое количество теплоты выделится на активном сопротивлении $R = 10$ Ом за 2 периода колебаний, если мгновенное значение переменного напряжения на сопротивлении описывается уравнением $U = 15\cos 100 \pi t$‚ В?
Из записи напряжения видим:  $U_m=15$ - амплитуда напряжения, $U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}=\frac{15}{\sqrt{2}}$ - действующее значение, $\omega=100 \pi$.

Так как $T=\frac{2\pi}{\omega}=0,02$, то $t=2T=0,04$ c.

Количество теплоты равно:

$$Q=I^2Rt=\frac{U^2}{R}t=\frac{225}{2}\cdot \frac{0,04}{10}=0,45$$

Ответ: 0,45 Дж.

Задача 8.

В последовательной цепи переменного тока из резистора сопротивлением $R=25$ Ом, конденсатора электроемкостью С = 4,8 мкФ и катушки индуктивностью $L= 0,3$ Гн наблюдается электрический резонанс. Во сколько раз амплитуда напряжения на катушке больше амплитуды приложенного напряжения?

Добротность определяет то, во сколько раз напряжение на катушке или конденсаторе больше входного (напряжения питания).

Добротность:

$$Q=\frac{\rho}{R}$$

Где $\rho=\sqrt{\frac{L}{C}}$ - волновое сопротивление контура.

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{25}\sqrt{\frac{0,3\cdot10^6}{4,8}}=\frac{250}{25}=10$$

Ответ: в 10 раз.